Question

Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales Exactas.

Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas

$ycosx+2xe^y+(sinx+x^2e^y+5)\frac{dy}{dx} =0$

Answer 1

Respuesta:

$ysenx+x^2e^y+5y=C$ es solución.

Explicación paso a paso:

Recordemos que la exactas son de la forma:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

entonces para tenerla de esta forma multiplicamos por $dx$:

$(ycosx+2xe^y)dx+(senx+x^2e^y+5)dy=0$

donde:

$M(x,y)=ycosx+2xe^y \\ N(x,y)=senx+x^2e^y+5$

Ahora, verificamos que sí sean exactas, para esto se debe cumplir que:

$M_y=N_x$

$M_y=cosx+2xe^y$

$N_x=cosx+2xe^y$

Por lo que se cumple.

Ahora procedemos a resolverla:

para esto definimos una función escalar:

$\Psi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \\ \ \ \ (x,y)  \  \rightarrow \Psi(x,y)$

cuya derivada total es:

$d \Psi(x,y)= \frac{\delta \Psi}{\delta x}dx+\frac{\delta \Psi}{\delta y}dy$

Y si: $d\Psi(x,y)=0$ es porque $\Psi$ es una función constante: $\Psi(x,y)=C$

Ahora, tenemos que si:

$\frac{\delta \Psi}{\delta x}=M(x,y) \ \ y \ \ \frac{\delta \Psi}{\delta y}=N(x,y)$

entonces: $d\Psi=Mdx+Ndx=0$ si y sólo si $\Psi=C$

Entonces la función  $\Psi=C$ es solución de la ecuación diferencial.

Para esto lo que hacemos es integrar:

$\frac{\delta \Psi}{\delta x}=ycosx+2xe^y \\ \Psi=\int {ycosx+2xe^y} \, dx =ysenx+x^2e^y+C(y)\\ \\ \frac{\delta \Psi}{\delta y}=senx+x^2e^y+5 \\ \Psi=\int {senx+x^2e^y+5 } \, dx =ysenx+x^2e^y+5y+C(x) \\ \\ ysenx+x^2e^y+C(y)=ysenx+x^2e^y+5y+C(x) \\ C(y)=5y+C(x) \\ C(y)=5y \\ C(x)=0 \\ \\ \Psi(x,y)=ysenx+x^2e^y+5y$

Y entonces:

$ysenx+x^2e^y+5y=C$

Es solución.

Intenté explicar el método de solución detalladamente, espero haberte ayudado, éxitos con tu estudio.