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Explicación paso a paso:
SI ES F(x) = x² - 4; Dom (F) = R
G(x) = 1 /(x-1); Dom(G) = R -{1}
Usaremos la regla de la composición de funciones
Para el dominio
Dom(FoG) = {x ε Dom(G) / G(x) ε Dom (F) }
Dom(FoG) = {x ε R-{1} / (1 /(x-1)) ε R }
Dom(FoG) = [ R-{1} ] ∩ [R-{1}] = R-{1}
Para la regla de correspondencia
(FoG)(x) = F(G(x))
(FoG)(x) = F( 1 /(x-1) )
(FoG)(x) = ( 1 /(x-1) )² - 4
(FoG)(x) = 1 /(x-1)² - 4
(FoG)(x) = [1 -4(x-1)² ] /(x-1)²
(FoG)(x) = [1-2(x+1)][1+2(x+1)] /(x-1)²
(FoG)(x) = (3-2x) (3+2x) / (x-1)²
Por lo tanto la función FoG es:
(FoG)(x) = (3-2x) (3+2x) / (x-1)² ; x ε R -{1}
Notas:
1) Primero debe determinarse si existe el dominio de FoG, porque puede no haber composición o también pueden existir elementos que durante la composición no sean válidos, después hacer la regla de correspondencia. No es conveniente aplicar primero la regla y de ahí sacar el dominio... existe riesgo de omitir o incluir valores que no están en la composición.
2) FoG no es necesariamente igual a GoF salvo funciones muy especiales, por lo que al amigo que indico las reglas de ambos como iguales , descarte esa idea.
3) en el dominio de la compuesta
Dom(FoG) = {x ε Dom(G) / G(x) ε Dom (F) }
algunos como regla practica dicen
Dom(FoG) = Dom(F) ∩ Rango (G) pero omiten que son los x que pertenecen al dominio de G y que su imagen sobre G esta en esa intersección; así que cuidado con las reglas practicas, hay que saber usarlas bien