Question

Ayuda por favor es de matemáticas

Answer 1

$E=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{16}+\cdots\\ \\\text{Puede seguir en realidad cualquier n\'umero despu\'es de 4/16, pero para}\\\text{no ser aguafiestas, digamos que E sea la siguiente serie: }\\ \\\\\displaystyle\,\hspace*{5cm}E=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^n}\\\\\text{Para ello veamos si la serie converge: }\\\\I=\int_{1}^{\infty}\dfrac{x}{2^x}dx=\dfrac{1}{\ln^22}$

$\text{Entonces E es convergente, ahora hallemos su valor. Ley telesc\'opica de la sumatoria}\\\\\displaystyle\,\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^n}- \dfrac{n-1}{2^{n-1}}=0\\\\\\\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2-n}{2^n}=0\\ \\ \\\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^n}=2\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}\\ \\ \\E=1+2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+\cdots\\\\E=1+2^{-1}(2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+\cdots)\\ \\E=1+2^{-1}E\\\\\boxed{E=2}$