Algunos autos de alquiler tienen instalada una unidad GPS, que permite a la empresa arrendadora verificar donde esta usted en todo momento y así saber también su velocidad en cualquier tiempo. Un empleado de la empresa conduce uno de estos autos de alquiler en el lote de la empresa, y durante el intervalo de tiempo de 0 a 10 seg, se encuentra que tiene un vector de posición como función del tiempo de:
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r (t)= ( (24.4 m) - t (12.3 m/s) + t^2 (2.43 m/s^2),
(74.4 m ) + t^2 (1.80 m/s^2) - t^3 (0.130 m/s^3) )
a) ¿Cual es la distancia de este carro desde el origen del sistema de coordenadas en t= 5.00 seg?
b) ¿Cual es el vector de velocidad como función del tiempo?
c) ¿Cual es la rapidez de t= 5.00 seg?
Crédito extra: ¿puede usted trazar una gráfica de la trayectoria del auto en el plano xy?
Respuestas
Algunos autos de alquiler tienen una unidad GPS, que permite a la empresa arrendadora verificar su ubicación en todo momento y su velocidad en cualquier momento. Un empleado conduce uno de los autos y durante un intervalo de 0 a 10 seg, tiene un vector de posición r(t). Por lo que determina:
a) La distancia del carro desde el origen del sistema de coordenadas hasta t = 5 seg es:
distancia = 215.47 m
b) El vector de velocidad como función del tiempo es:
v(t) = [-12.3 m/s + 2t (2.43 m/s²),
2t (1.80 m/s²) - 3t² (0.130 m/s³)]
c) La gráfica de trayectoria en el intervalo 0 a 10 seg se puede ver en la imagen.
Datos:
Intervalo de tiempo: 0 a 10 seg
Vector de posición:
r (t)= [ (24.4 m) - t (12.3 m/s) + t² (2.43 m/s²),
(74.4 m ) + t² (1.80 m/s²) - t³(0.130 m/s³) ]
a) ¿Cual es la distancia de este carro desde el origen del sistema de coordenadas en t= 5.00 seg?
Evaluar el vector de posición;
Para t = 0 seg:
r (0)= [ (24.4 m) - (0) (12.3 m/s) + (0)² (2.43 m/s²),
(74.4 m ) + (0)² (1.80 m/s²) - (0)³(0.130 m/s³) ]
r (0)= (24.4, 74.4) m
Para t = 5 seg;
r (5)= [ (24.4 m) - (5) (12.3 m/s) + (5)² (2.43 m/s²),
(74.4 m ) + (5)² (1.80 m/s² - (5)³(0.130 m/s³) ]
r (5)= [ (24.4 m) - (61.5 m/s) + (60.75 m/²),
(74.4 m ) + (45 m/²) - (16.25 m/s³) ]
r (5)= (23.65, 135.65) m
La distancia es una magnitud escalar;
distancia = r(0) + r(5)
distancia = (24.4, 74.4) + (23.65, 135.65)
distancia = (48.05, 210.05)
|distancia| = √[(48.05)²+(210.05)²]
|distancia| = √(46429.805)
distancia = 215.47 m
b) ¿Cual es el vector de velocidad como función del tiempo?
El vector de velocidad es la derivada del vector de posición respecto al tiempo.
r'(t) = d/dt[ (24.4 m) - t (12.3 m/s) + t² (2.43 m/s²)],
d/dt[(74.4 m ) + t² (1.80 m/s²) - t³(0.130 m/s³)]
d/dt[ (24.4 m) - t (12.3 m/s) + t² (2.43 m/s²)],
d/dt(24.4 m) = 0
d/dt[t (12.3 m/s)] = 12.3
d/dt[ t² (2.43 m/s²)] = 2t (2.43 m/s²)
= -12.3 m/s + 2t (2.43 m/s²)
d/dt[(74.4 m ) + t² (1.80 m/s²) - t³(0.130 m/s³)]
d/dt(74.4 m) = 0
d/dt[t² (1.80 m/s²)] = 2t (1.80 m/s²)
d/dt[ t³ (0.130 m/s³)] = 3t² (0.130 m/s³)
= [-12.3 m/s + 2t (2.43 m/s²), 2t (1.80 m/s²) - 3t² (0.130 m/s³)]
r'(t) = v(t) = [-12.3 m/s + 2t (2.43 m/s²), 2t (1.80 m/s²) - 3t² (0.130 m/s³)]
