Question

Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto (7,5) y es tangente a la circunferencia x^2 y^2 4x 16y-22=0

Answer 1

Si ya sabes la definción de derivada, sabrás que la derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en un punto.

entonces tenemos la función,

x^2 y^2 4x 16y-22=0

Entonces debemos hallar la derivada de equis respecto de ye, para eso hacemos una derivación implícita, o que es lo mismo que separar todo lo que tenga equis de un lado y todo lo tenga ye del otro lado así,

x2 + 4x = +22 + y2 + 16y

y derivamos a cada lado como de costumbre así,

$(2x+4)dx = (0+2y+16)dy\\\frac{dx}{dy} = \frac{2y+16}{2x+4} = \frac{y+8}{x+2}$

como mencionamos

$\frac{dx}{dy} = m = pendiente$

pero además ya nos dan un punto

(7,5) = (x.y)

entonces, reemplazamos éstos punto en la derivada que obtuvimos así,

$\frac{dx}{dy} = m = \frac{y+8}{x+2} = \frac{(5)+8}{(7)+2} = \frac{13}{9}$

ya obtuvimos la pendiente, ahora solo basta armar la ecuación de la recta, tenemos una pendiente tenemos un punto entonces,

y - y1 = m (x - x1)

y - 5 = $\frac{13}{9}$ (x - 7)

9y - 45 = 13x - 91

13x - 9y - 46 = 0

y esa sería la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto especificado.

Y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas