Question

Se tiene un reloj de pared cuyo minutero tiene una longitud de 15,0 cm, como se muestra en la figura. Inicialmente marca las 12: 15 (1) y luego marca las 12: 35 (2). Considerando el minutero como un vector, determinar:
A. Posición inicial y final del minutero en coordenadas polares.
B. Posición inicial y final del minutero en coordenadas rectangulares utilizando los vectores unitarios.
C. Determinar el vector desplazamiento y representarlo en el dibujo dado.
D. Determinar la magnitud del vector desplazamiento.

Answer 1

En coordenadas polares la posición final es $\vec{r_{m}} = (15cm,240°)$, y la posición inicial es $\vec{r_{m}} = (15cm,0°)$.

En coordenadas rectangulares, usando vectores unitarios, la posición final es $\vec{r_{m}} = -7,5(\hat{i}) -12,99(\hat{j})$, la posición inicial es $\vec{r_{m}} = 15\hat{i}$. El vector desplazamiento es $\vec{r_{d}} = (-22,5(\hat{i}) +12,99(-\hat{j}))$, con módulo $|\vec{r_{d}|} = 25,89$.

Primero observemos que cada minuto, el minutero avanza un espacio. Cuando avanza 60 espacios, son 60 minutos y da una vuelta completa. Si en una vuelta hay 360° grados, podemos calcular cuantos grados avanza el minutero cada minuto, al dividir el ángulo de la vuelta entera entre la cantidad de minutos:

$\frac{360}{60} = 6$

Cada minuto, el minutero avanza $6$ grados. Ahora, para la escribirlo en coordenadas polares, necesitamos encontrar el ángulo que forma con el eje horizontal. ¿Cuando está la aguja en posición horizontal? Cuando el reloj marca las 12:15. Como esta es la posición inicial, el ángulo inicial es cero.

Para calcular el ángulo final, debemos saber que cual es la diferencia en minutos entre la posición final y la inicial, contando en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj (así es como medimos los ángulos). Podemos apreciar en la figura que l diferencia es la cantidad de minutos que le toma al minutero llegar del minuto 35 al minuto $15$ en recorrido normal. Del minuto $35$ al minuto $00$ hay $25$ minutos. Del minuto $00$ al minuto $15$ hay justamente $15$ minutos, el total de minutos es de {tex]40[/tex]. Como cada minuto equivale a tex]6[/tex] grados, 40 minutos es igual a tex]40\cdot 6= 240[/tex]°. Ahora que tenemos los ángulos, y sabemos cuanto mide la aguja, podemos escribirlos en forma polar.

Recordemos que la forma polar de un vector $\vec{r}$ es:

$\vec{r} = (|\vec{r}|,\theta$

Donde $|\vec{r}|$ es el módulo del vector y $\theta$ es el ángulo que forma con la horizontal.

Aplicándolo a nuestro caso, llamaremos al vector del minutero $\vec{r_{m}}$. Cuando el reloj marca las 12:15, tenemos:

$\vec{r_{m}} = (15cm,0\textdegree)$

Cuando el reloj marca las 12:35, estaba a 240°, entonces:

$\vec{r_{m}} = (15cm,240\textdegree)$

Para pasar de forma polar a la forma rectangular con vectores unitarios, debemos usar la formula transformación de coordenadas polares a coordenadas rectangulares:

$\vec{r_{m}} = |\vec{r_{m}}|\cos(\alpha)\hat{i} + |\vec{r_{m}}|\sin(\alpha)\hat{j}$

Aplicándolo a nuestro caso, cuando el reloj marca las 12:15, tenemos:

$\vec{r_{m}} = 15(\cos(0)\hat{i}) + 15\sin(0)\hat{j}$

$\vec{r_{m}} = 15\hat{i}$

Y cuando marca las 12:35

$\vec{r_{m}} = 15\(\cos(240)\hat{i}) + 15\sin(240)\hat{j}$

$\vec{r_{m}} = -7,5(\hat{i}) -12,99(\hat{j})$

El vector desplazamiento se calcula restando el vector de posición final menos el vector de posición inicial:

$\vec{r_{d}} = (-7,5(\hat{i}) +12,99(-\hat{j})) - (15\hat{i})$

Agrupamos los términos con $\hat{i}$:

$\vec{r_{d}} = ((-7,5-15)(\hat{i}) +12,99(-\hat{j}))$

$\vec{r_{d}} = (-22,5(\hat{i}) +12,99(-\hat{j}))$

Y para calcular su módulo, usamos el teorema de pitágoras:

$|\vec{r_{d}|} = \sqrt{(-22,5)^2 +(-12,99)^2}$

$|\vec{r_{d}|} = 25,89$