Question

Una pequeña planta fabrica tres tipos de botes ambulancia : modelos para un paciente,

dos pacientes y cuatro pacientes . Cada bote requiere los servicios de tres

departamentos. Los departamentos de corte, montaje y empaque disponen de un

máximo de 380, 330 y 120 horas de trabajo por semana, respectivamente.¿Cuántos botes de cada tipo pueden producirse cada semana para que la planta

funcione a plena capacidad?​

Answer 1

Con la cantidad de horas que necesita cada modelo de bote en cada área de trabajo dadas por el cuadro, y además con el total de horas en cada área de trabajo, tenemos que por semana se pueden producir 20 botes para un paciente, 220 botes para dos pacientes y 100 botes para cuatro pacientes.

Este es un problema de ecuaciones lineales. Llamemos X a la cantidad de botes de un paciente, Y a la cantidad de botes de dos pacientes y Z a la cantidad de botes de cuatro pacientes.

Podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones en base al cuadro de datos y a la cantidad total de horas de trabajo por semana en cada área:

0.5 x + 1.0 y + 1.5 z = 380

0.6 x + 0.9 y + 1.2 z = 330

0.2 x + 0.3 y + 0.5 z = 120

Ahora debemos resolver este sistema, hay muchas maneras, pero como no está especificado ningún método, para comodidad lo haremos por matriz asociada al sistema y la reduciremos.

Es decir, tenemos la matriz

$\left[\begin{array}{ccc|c}0.5&1.0&1.5&380\\0.6&0.9&1.2&330\\0.2&0.3&0.5&120\end{array}\right]$

Para facilitar cuentas buscaremos números enteros, multiplicando la primera fila por 2, la segunda por 10/3 y la tercera por 10

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&760\\2&3&4&1100\\2&3&5&1200\end{array}\right]$

Y comenzamos a reducir la matriz, es decir, buscaremos una diagonal principal con 1 y ceros en el resto de esas columnas. Multiplicamos la primera fila por 2 y se la restamos a la segunda y a la tercera.

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&760\\0&-1&-1&-420\\0&-1&-1&-320\end{array}\right]$

Multiplicamos la segunda por -1. Luego se la sumamos a la tercera.

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&760\\0&1&1&420\\0&0&1&100\end{array}\right]$

Multiplicamos la tercera por 2 y se la sumamos a la segunda.

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&760\\0&1&0&220\\0&0&1&100\end{array}\right]$

Y finalmente a la primera le restamos 2 veces la segunda y 3 veces la tercera

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&20\\0&1&0&220\\0&0&1&100\end{array}\right]$

Por lo tanto, como esta matriz está asociada al sistema, tenemos que x =20, y = 220, z = 100. Es decir,

20 botes para un paciente, 220 botes para dos pacientes y 100 botes para cuatro pacientes. Para verificar esto basta reemplazar x, y, z en cualquiera de las ecuaciones iniciales.