determina la ecuacion de la ciercunferencia que pasa por los puntos E(3,7), F(5,5) Y G(1,1).
ten en cuenta que el punto de interseccion de las mediamatrices de los segmentos EF y FG corresponden al centro de la circunferencia.
Respuestas
Respuesta:
(x-2)^2 + (y-4)^2 = 10
Explicación paso a paso:
Segmento EF:
1) Punto medio M: ((3+5)/2, (7+5)/2) = (4, 6)
2) Pendiente de la recta EF: (5-7)/(5-3) = -1
3) Mediatriz de EF:
y- 6 = 1(x – 4)
y = x+2
Segmento FG:
1) Punto medio N: ((5+1)/2, (5+1)/2) = (3,3)
2) Pendiente de la recta FG: (1 - 5))/(1 - 5) = 1
3) Mediatriz de FG:
y – 3 = -1(x- 3)
y – 3 = -x + 3
y = -x + 6
Intersección de ambas mediatrices:
y = x+2
y = -x + 6
x+2 = -x + 6
2x = 4
x = 2, y = 4
Luego el centro es O(2, 4). La distancia del centro O a, por ejemplo, F(5,5) es:
√((5-2)^2 + (5 – 4)^2) = √(9+1) = √10
Luego la ecuación pedida es
(x-2)^2 + (y-4)^2 = 10
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He seguido, analíticamente, el proceso para construir una circunferencia que pasa por tres puntos con regla y compás. He utilizado las expresiones de
-> Punto medio de (a,b), (c,d), M = ((a+c)/2, (b+d)/2)
-> Pendiente de la recta que para por (a,b), (c,d): m = (d-b)/(c-a).
-> Pendiente de la perpendicular a la recta y = px+q, m’ = -1/p
-> Recta que pasa por (u,v) con pendiente m: y-v = m(x-u)
-> Distancia entre (a,b) y (c,d), d = √((d-b)² + (c-a)²)
-> Circunferencia centrada en (a,b) y de radio r: (x-a)² + (y-b)² = r²
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La solución se puede abreviar en este ejercicio en concreto (los datos están muy preparados) si se observa que los segmentos EF y FG son perpendiculares y, por tanto, el centro de la circunferencia está en el punto medio de EG.
