Question

Ejercicios 1. Variables Separables. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo).

d). (e^(-y)+1) sin⁡(x) dx=(1+cos⁡x )dy, y(0)=0

Answer 1

La Ecuación Diferencial (ed) $\bold{(e^{-y}+1)Sin(x)dx=[1+Cos(x)]dy}$ es una ed de variables separables, cuya solución general es $\bold{Ln[1+Cos(x)]+Ln(e^{y}+1)=C}$    y la solución particular asociada a las condiciones iniciales    y(0)  =  0         es         $\bold{Ln[1+Cos(x)]+Ln(e^{y}+1)=Ln(4)}$.

Explicación:

Una ed de variables separables se expresa de la siguiente manera:

${f_{(x)}}{j_{(y)}}dx+{h_{(y)}}{g_{(x)}}dy=0$

pudiendo reescribirse, mediante el uso del factor integrante:  $FI=\frac{1}{g_{(x)} j_{(y)}}$

reagrupada de la siguiente manera:

$\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}dx+\frac{h_{(y)}}{j_{(y)}}dy=0$

La solución general de esta ed viene dada por:

$\int{\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}\,dx}+\int{\frac{h_{(y)}}{j_{(y)}}\,dy}=C$

En el caso que nos ocupa:                $(e^{-y}+1)Sin(x)dx=[1+Cos(x)]dy$

1.- Se define el factor integrante y reescribimos la ed:

$FI=\frac{1}{(e^{-y}+1) [1+Cos(x)]}\qquad \Rightarrow$

$(ED)(FI): {(e^{-y}+1)Sin(x)dx-[1+Cos(x)]dy=0}{\frac{1}{(e^{-y}+1) [1+Cos(x)]}}\qquad \Rightarrow$

$\frac{Sin(x)dx}{1+Cos(x)}-\frac{dy}{(e^{-y}+1)}=0$

2.- Integramos para obtener la solución general

$\int{\frac{Sin(x)}{1+Cos(x)}\,dx}-\int{\frac{1}{ e^{-y}+1}}\,dy}=0$

Ambas integrales se resuelven aplicando el método de cambio de variable:

$\int{\frac{Sin(x)}{1+Cos(x)}\,dx}-\int{\frac{ e^{y}}{ e^{y}+1}}\,dy}=0$

Primera integral:    u  =  1+Cos(x)        ⇒        du  =  -Sin(x)dx

Segunda integral:    w  =  e^{y}+1        ⇒        dw  =  e^{y}dy

La solución general es:

$Ln[1+Cos(x)]+Ln(e^{y}+1)=C \qquad \Rightarrow$

$[1+Cos(x)](e^{y}+1)=C$

3.- Sustituimos las condiciones iniciales para hallar la solución particular:

Si    x  =  0        ^           y  =  0

[$Ln[1+Cos(0)]+Ln(e^{0}+1)=C \qquad \Rightarrow$                  C  =  Ln(4)

Por lo tanto la solución particular solicitada es:

$\bold{Ln[1+Cos(x)]+Ln(e^{y}+1)=Ln(4)}$