En una P.A ., cuyo primer termino es 5 y cuya diferencia es 4 . Calcula el décimo tercer término
A) 27 B) 36 C)53 D)86
Respuestas
Respuesta:
c
Explicación paso a paso:
Pues sí, cada término lo obtenemos sumando al que va justo antes 3, y ocurre siempre. Luego efectivamente es una progresión aritmética y además de diferencia 3.
Antes de seguir contándote más cosas (esto es solo el comienzo) voy a hacer algo que nos gusta mucho en matemáticas y que es expresar todo esto «con letras».
¡Ya estamos con las letras!
Créeme que nos va a ser útil, porque así las conclusiones que saquemos nos valdrán para cualquier caso de forma general, y no solo para uno en particular.
Los términos de la progresión los vamos a identificar con una a con un subíndice que indica la posición del término en la progresión. Así a1 será el primer término de la progresión, a2 el segundo, a3 el tercero… a20 el término de la progresión que ocupa la posición 20…
Si es una progresión aritmética hemos dicho que cada término (excepto el primero, a1) se obtiene sumando al anterior la diferencia, que vamos a designar con la letra d. Es decir…
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d
a4 = a3 + d
an = an-1 + d
O, lo que es equivalente:
Y esto que acabamos de deducir es una de las formas (no es la única) que tenemos de calcular la diferencia en una progresión aritmética:
Cuando conocemos dos términos consecutivos de una progresión aritmética podemos calcular la diferencia de la progresión restando al término que va después el inmediato anterior.
Volviendo a la progresión aritmética con la que empezamos…
efectivamente se cumple que:
Bueno, ya tenemos claro que sumando a partir del primer término (a1) sucesivamente la diferencia (d) se van obteniendo los términos de la progresión aritmética…
Pues sabiendo esto podemos, por ejemplo, calcular el quinto término (a5) a partir del segundo (a2) directamente sin tener que calcular previamente a3 ni a4, ya que al avanzar 3 posiciones (5 – 2 = 3) lo que hacemos es sumar tres veces la diferencia (d+d+d = 3d)…
O, por ejemplo, calcular el octavo término (a8) a partir del tercero (a3), ya que como avanzamos 5 posiciones (8 – 3 = 5) sumamos cinco veces la diferencia (d+d+d+d+d = 5d)…
Y esto que acabamos de deducir es realmente útil a la hora de trabajar con progresiones aritméticas, porque nos permite calcular un término cualquiera de la progresión a partir de otro conociendo la diferencia (d), sin necesidad de que sean consecutivos.
Si llamamos ap a un término genérico que ocupe la posición p y aq a un término que ocupe la posición q, siendo p<q (el término ap aparece antes en la progresión que el término aq)…
ambos términos se relacionan a través de la diferencia (d) de la forma:
Es lo mismo que hemos visto en los dos ejemplos anteriores pero generalizando.
Pero lo que es mejor aún es que esta expresión nos permite calcular la diferencia (d) conociendo dos términos cualesquiera de una progresión aritmética (ap y aq), ya que si sustituimos ap y aq por sus valores, y p y q por sus posiciones correspondientes, tenemos una ecuación en la que la única incógnita es d (la diferencia).
Por ejemplo, si a2 = 5 y a7 = 20…
Y todo esto que acabamos de ver lo podemos utilizar para definir la expresión del término general de una progresión aritmética (an), que nos permite calcular cualquier término de la misma:
Si te fijas he utilizado como término de partida el primer término (a1), aunque podría haber empleado cualquier otro, pero se suele hacer así ya que es el único término de la progresión aritmética que viene fijado de inicio y no se obtiene a partir de ninguno anterior.
Volviendo a nuestra progresión…
en la que hemos visto que d = 3 y a1 = 2, el término general de la misma será:
y, como he comentado antes, con esta expresión podemos calcular ahora el término de nuestra progresión aritmética que queramos, sustituyendo simplemente n por la posición que ocupa dicho término.
Por ejemplo:
y así los que queramos.
Bien, ya sabemos obtener la diferencia de una progresión aritmética, calcular términos de la misma y obtener la expresión del término general.
Antes de explicarte algo más sobre las progresiones aritméticas…
… ¿Conoces la historia que se cuenta del matemático Gauss cuando tenía nueve años?
¿No la conoces?
En 1786, en una clase de Aritmética de tercero de primaria, un maestro rural llamado Büttner pidió a sus alumnos que hallaran la suma de los 100 primeros números (1+2+3+4+5+6+…+98+99+100). Un alumno de esa clase llamado Carl Friedrich Gauss, que entonces tenía 9 años, halló la respuesta correcta en muy poco tiempo, diciendo «Ligget se’» (“ya está”). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.
La respuesta que Gauss dio fue: 5050. Si hacéis las 99 sumas que hay en la suma de los cien primeros números naturales llegaréis a esa solución, aunque tardando bastante más de lo que tardó aquel joven muchacho.
Respuesta:
53
Explicación paso a paso:
a1= 5
r= 4
an= t13
n= 13
an= a1 + (n-1)r
t13= 5 + (13-1)4
t13= 5 + (12)4
t13= 5 + 48
t13 = 53