Question

La suma de el octavo termino de la serie aritmetica: 81,27,9..

Answer 1

La suma de los primeros 8 términos de la sucesión es 3280/27

Para poder determinar la suma de estos elementos, primero necesitamos una fórmula reducida de la sucesión, podemos ver que la sucesión consiste en potencias de tres que descienden, en este caso, se puede deducir el siguiente patrón

$a_n = 3^{4-n} = 3^43^{-n} = \frac{81}{3^n}; n \geq  0$

Ahora debemos recordar una propiedad de las series y una forma cerrada de una la serie geométrica

$\sum_{k=0}^{n}{ca_k} = c\sum_{k=0}^{n}{a_k} \\\\\sum_{k=0}^{n}{r^k} = \frac{1 - r^{n+1}}{1-r}$

Sabiendo esto, podemos resolver La serie de nuestra sucesión de una manera fácil

$a_n = \frac{81}{3^n}\\\\\sum_{k=0}^{n}{a_k} = \sum_{k=0}^{n}{ \frac{81}{3^k} } = 81\sum_{k=0}^{n}{( \frac{1}{3} )^k} = 81 \frac{1-(1/3)^{n+1}}{1-1/3} = 81\frac{1 - (1/3)^{n+1}}{2/3} \\\\ \sum_{k=0}^{n}{a_k} = \frac{243}{2}(1 - (\frac{1}{3})^{n+1})$

Si queremos saber la suma de los 8 primeros términos, debemos hacer n = 7, pues estamos contando desde el cero lo que nos da

(243/2)( 1 - (1/3)^(7+1) ) = (243/2)( 1 - 1/6.561)= (243*6.560)/(2*6.561)= 3280/27

Por lo que la suma de los primeros 8 términos de la sucesión es 3280/27