Question

ARITMÉTICA-NÚMEROS PRIMOS

Answer 1

Necesitaremos el siguiente teorema

$\textbf{Teorema de John Wilson}. ~~~(p-1)!+1\equiv 0 \mod p \iff p\text{ es primo}$

Entonces según el teorema tenemos

$(71-1)!\equiv -1 \mod 71\\70!\equiv -1 \mod 71\\70\times 69!\equiv -1 \mod 71\\69!\equiv 1\mod 71$

$69!^{\overline{\text{UNI}2005}}\equiv -\overline{ab}\mod 71\\1\equiv -\overline{ab}\mod 71\\1+\overline{ab}\equiv0\mod 71\\\\\overline{ab}=70$

Luego hallemos n en 14ⁿ | 70!

Potencias de 2:

[70/2] = 35

[35/2] = 17

[17/2] = 8

[8/2] = 4

[4/2] = 2

[2/2] = 1

Se concluye que 2⁶⁷| 70!

Potencias de 7:

[70/7] = 10

[10/7] = 1

Se concluye que 7¹¹ | 70!

Por ende 14¹¹| 70!

Respuesta: 11 ceros