Question

una partícula p se mueve a lo largo de la gráfica y=√(x^2-4), x≥2 de modo que la abscisa del punto P está aumentando a razón de 5 unidades por segundo. ¿Que tan rápido está aumentando la ordenada (coordenada y) cuando x=3?

Answer 1

La ordenada se mueve a una velocidad de 3√5 unds / s

Para poder calcular dicha velocidad, se necesita utilizar la regla de la cadena al momento de calcular la derivada, es decir, si se requiere calcular dy/dt, debemos utilizar la regla de la cadena, por lo que:

$y = \sqrt{x^2 - 4}\\\\\frac{dx}{dt} = 5\\\\\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}  = 5\frac{dy}{dx}$

Por lo que lo único que debemos hacer es determinar la derivada de y(x) y evaluar la en x = 3, esta derivada se hace de la siguiente manera

$u(x) = x^2 - 4\\y(x)=\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{u(x)}\\\\\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}}2x = \frac{x}{ \sqrt{x^2 - 4} }$

Como se ve, también se utilizó la regla de la cadena

Por lo que si en esta fracción hacemos x = 3, tenemos que y'(3)=3/√(3²-4)=3/√5

Por lo que lo único que queda es multiplicar este resultado por 5, lo que nos da 5*3/√5 = 3√5

Es decir, la razón de cambio de la ordenada es 3√5 unds/s cuando x = 3