Question

la población de cierto tipo de peces en alguna parte del océano en miles de peces como función de la temperatura de agua en grados celsises este modelado por p paréntesis x paréntesis igual -2 x al cuadrado + 40 x - 72 A que temperatura dará lugar a la ausencia de peces es decir 0 habitantes
B cual es la temperatura cuando existe el máximo de población C cuanto es la máxima población posible D gráfica la función

Answer 1

A.  La temperatura que dará lugar a la ausencia de población:

x_{1} = 2°C

x_{2}= 18°C

B. La temperatura para que exista una máxima población de peces es:

x = 10°C

C. La máxima población de peces es:

128 mil peces

D. La gráfica se puede ver al final de la respuesta.

Datos:

Ecuación que modela la población de peces (miles de peces/celsius)

p: miles de peses

x: temperatura del agua en grados celsius

p(x) = -2x²+40x-72

A. Para que la población de peces sea cero, se debe hallar las raíces del polinomio de grado dos;

-2x²+40x-72

Aplicamos la resolvente;

$x_{1}= \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

$x_{2}= \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

Siendo;

a = -2

b = 40

c = -72

Sustituimos;

$x_{1}= \frac{-40+\sqrt{40^{2}-4(-2)(-72) } }{2(-2)}$

$x_{1}= \frac{-40+\sqrt{1600-576 } }{-4}$

$x_{1}= \frac{-40+\sqrt{1024} }{-4}$

$x_{1}= \frac{-40+32 }{-4}$

$x_{1}= \frac{-8 }{-4}$

x_{1} = 2°C

$x_{2}= \frac{-40-32 }{-4}$

$x_{2}= \frac{-72 }{-4}$

x_{2} = 18°C

B. Para una población máxima, se deriva la ecuación de población de peces, se iguala a cero y de despaja la temperatura;

p'(x) = d/dx(-2x²+40x-72)

d/dx(-2x²) = -4x

d/dx(40x) = 40

d/dx(-72) = 0

p'(x) = -4x +40

-4x + 40 = 0

4x = 40

x = 40/4

x = 10°C

C. La máxima población posible;

se debe comprobar la segunda derivada ;

p''(x) = d/dx(-4x+40)

d/dx(-4x) = -4

d/dx(40) = 0

p''(x) = -4 ; quiere decir que el máximo de población esta dado en x= 10°C.

Evaluamos max = 10°C en p(x);

p(max) = -2(10)²+40(10)-72

p(max) = -200+400-72

p(max) = 128 mil peces