se dispara un proyectil desde la terraza de un edificio a un angulo de 30 grados respecto de la horizontal con una velocidad de 20 pies/seg si la altura del edificio es de 45 m. Determine lo siguiente.
a) Altura maxima
b)V y cuando pase al nivel del edificio,
c)posicion a los 3.2 seg del lanzamiento.
d)Velocidad resultante. 6 metros antes del suelo.
e)Su alcance
Respuestas
a) La altura máxima alcanzada por el proyectil sobre el suelo es hmax = 45.47m
b) Las componentes de la velocidad cuando el proyectil alcanza el nivel del edificio son: Vx = 5.31 m/s y Vy = 3.05 m/s
c) La posicion del proyectil a los 3.2s del lanzamiento es igual a una altura de h = 4.51m sobre el suelo.
d) La velocidad resultante a los 6 metros antes de tocar el suelo es Vf = 28.32m/s
e) La distancia en X máxima o alcance es dx max = 17.84 m
Primero vamos a pasar las unidades de velocidad a metros por segundo:
- Vo = 20 ft /s * (0.3048m/ft)
- Vo = 6.10 m/s
Ahora trabajamos con la proyección vertical del movimiento del proyectil, usamos la siguiente ecuación de MRUV para calcular la altura máxima:
- Vfy² = Voy² - 2 * g * hmax
- 0 = (6.10m/s * sen 30°)² - 2 * 9.8m/s² * hmax
- 0 = 9.30m2/s² - 19.6 m/s² * hmax
- hmax = (9.30m2/s²) / 19.6 m/s²
- hmax = 0.47m
Esta es la altura máxima sobre el punto de lanzamiento, para hallar la altura máxima sobre el suelo le debemos sumar la altura del edificio:
- hmax = 0.47m + 45m
- hmax = 45.47m
Cuando el proyectil vaya descendiendo y alcance la altura del edificio la velocidad es igual en modulo y en el ángulo con la horizontal a la velocidad inicial del lanzamiento, entonces las componentes horizontal y vertical se calculan así:
- Vx = Vo * cos 30°
- Vx = 6.10m/s * 0.87
- Vx = 5.31 m/s
- Vy = Vo * sen 30°
- Vy = 6.10m/s * 0.5
- Vy = 3.05 m/s
Ahora vamos a calcular el tiempo que tarda en llegar a su altura máxima, para conocer en que etapa esta al cabo de los 3.2s
- Vfy = Voy - g * t
- 0 = 3.05m/s - 9.8m/s² * t
- 9.8m/s² * t = 3.05m/s
- t = 0.31s
Ahora calculamos el tiempo de vuelo del proyectil por debajo de la altura de 45m.
- dy = Voy * t + (1/2) * g * t²
- 45m = 3.05m/s * t + 4.9m/s² * t²
- 4.9m/s²* t² + 3.05m/s*t - 45m = 0 ==> Resolvemos la Ec. cuadrática:
- t = 2.74s
Entonces el tiempo de vuelo total seria:
- tvT = 0.31s + 0.31s +2.74s
- tvT = 3.36s
Con este resultado tenemos la seguridad que a los 3.2s el proyectil esta cerca de caer al suelo.
Para hallar la posición a los 3.2s usamos la siguiente ecuación de MRUV:
- dy = Voy * t + (1/2) * g * t²
- dy = 3.05m/s * (3.2s-0.62s) + 4.9m/s² * (3.2s-0.62s)²
- dy = 7.87m + 32.62m
- dy = 40.49m
Con este resultado podemos calcular la altura del proyectil a los 3.2s:
- h = 45m - 40.49m
- h = 4.51m
Para calcular la velocidad a 6m antes de caer al suelo usamos la siguiente ecuación de MRUV:
- Vfy² = Voy² + 2 * g * d
- Vfy² = (3.05m/s)² + 2 * 9.8m/s² * (45m-6m)
- Vfy² = 9.30 m²/s² + 764.4m²/s²
- Vfy² = 773.7m²/s²
- Vfy = 27.82m/s
Como sabemos el valor Vx, es constante durante todo el movimiento, hayamos el módulo de la velocidad final :
- Vf = √(5.31² + 27.82²)m²/s²
- Vf = 28.32m/s
El alcance lo hallamos con la proyección horizontal del movimiento del proyectil (MRU), con el tiempo total de vuelo y la velocidad en X:
- dx max = Vx * tvmax
- dx max = 5.31 m/s * 3.36s
- dx max = 17.84 m