Question

Un campo eléctrico uniforme se dirige a lo largo del eje x, entonces el potencial eléctrico en función de x.

Answer 1

El potencial eléctrico en una linea de carga a lo largo del eje x $V=\frac{\beta}{2\pi e} ln\frac{r_{0}}{r}$ ,viene determinado de la siguiente forma:

Primero se establece el campo eléctrico de una linea de que se extiende a lo largo del eje x. Las líneas de campo  afuera de un alambre infinito con carga uniforme son radiales y se  localizan en planos perpendiculares al alambre. La magnitud del campo  sólo depende de la distancia radial desde el alambre.

Por lo tanto el campo eléctrico para una linea es:

$E{r}=\frac{\beta }{2\pi er}$    (Campo de una linea infinita de carga)

donde $\beta$ es la densidad lineal de carga en cualquier punto de la lineal. 'e' epsilon es una constante.

El potencial eléctrico se determina de la siguiente forma:

$V_{a} - V_{b}=\int\limits^b_a {E} \, dl$

se sabe que el campo eléctrico a una distancia r de una línea  recta y larga de carga sólo tiene una componente radial.  Esta expresión se utiliza para obtener el potencial por integración de, como en la ecuación anterior.

Como el campo sólo tiene una componente radial, el producto  escalar E·dl es igual a Erdr. Así, el potencial de cualquier punto  a con respecto a cualquier otro punto b, a distancias radiales ra y rb  de la línea de carga, es:

$V_{a} - V_{b}=\int\limits^b_a {E}\, dl=\int\limits^b_a {Er} \, dr =\frac{\beta }{2\pi e} \int\limits^b_a {\frac{1}{r} } \, dr= \frac{\beta }{2\pi e} ln(\frac{rb}{ra} )$

Si se toma el punto b en el infinito y se establece que Vb = 0, se encuentra  que Va es infinito. Esto demuestra que si se trata de definir V como cero en el infinito, entonces  V debe ser infinito a cualquier distancia infinita de la línea  de carga.

Para sortear la dificultad se debe recordar que V puede definirse  como cero en cualquier punto que se desee. Se establece que Vb=0 en el punto b a una distancia radial arbitraria r0. Así, el potencial  V = Va en el punto 'a' a una distancia radial r está dado por:

$V-0=\frac{\beta}{2\pi e} ln\frac{r_{0}}{r}$