La demanda mensual x, de cierto artículo al precio de p dólares por unidad está dada por la relación x=1350-45p . El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual?
Respuestas
El precio por unidad p que deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual es de : p = $17.5 .
El precio por unidad p que deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual se calcula mediante la aplicación de la fórmula de utilidad, la cual es la diferencia entre ingreso y costo total, de la siguiente manera :
demanda mensual = x
precio = p dolares /unidad =?
costo de mano de obra y material de fabricación = $5 /unidad
costos fijos = $2000 al mes
Utilidad máxima mensual ⇒ U max
x = 1350 - 45p ⇒ se despeja p : p = ( 1350 -x)/45 = 30 - x/45
U(x) = I(x) - C(x) Utilidad
U(x) = p*x - ( 5x + 5000 )
U(x) = 30x - x²/45 - 5x - 5000
U(x) = 25x -x²/45 - 5000
U(x) = -x² + 1125x - 225000
se deriva y se iguala a cero :
-2x + 1125 =0
x = 1125/2 = 562.5
p = 30 - 562.5 / 45
p = $ 17.5 el precio por unidad para que la utilidad sea máxima
La utilidad máxima se obtiene con 17 unidades y media
Cálculo de la función de utilidad
Tenemos que para un precio P la demanda (cantidad solicitada) es igual a x = 1350 - 45p, entonces los costos variables son $5 y los costos fijos $2000, por lo tanto la utilidad es:
(1350 - 45p)*p - (1350 - 45p)*5 - 2000
(1350 - 45p)*(p-5) - 2000
1350p - 6750 -45p² + 225p-2000
-45p² + 1575p - 8750 = 0
Cálculo de la utilidad maxima
La utilidad máxima se obtiene en el único punto crítico de la función, pues el coeficiente cuadratico es negativo, por lo tanto será
-90p + 1575 = 0
p = 1575/90
p = 17.5
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