Respuestas
La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,10),B(7,4) y C(-9,-4) es x² + y² + 6x - 8y - 75 = 0
La ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados es
x² + y² + Ax + By + C = 0
Partiendo de allí comenzamos a buscar los coeficientes A, B y C
Punto A(5,10) => 5² + 10² + 5A + 10B+ C = 0 => 5A + 10B + C = -125
Punto B(7,4) => 7² + 4² + 7A + 4B + C = 0 => 7A + 4B + C = -65
Punto C(-9,-4) => (-9)² + (-4)² - 9A - 4B + C = 0 => - 9A - 4B + C = -97
Nos queda entonces un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas
(01) 5A + 10B + C = - 125
(02) 7A + 4B + C = - 65
(03) - 9A - 4B + C = - 97
que al resolver por cualquiera de los métodos disponibles obtenemos
A = 6
B = - 8
C = - 75
Que al sustituir en la ecuación general de la circunferencia nos da
x² + y² + 6x - 8y - 75 = 0