Los alumnos del 5to D desean hacer cajas sin tapa para guardar sus carteles. Para esto harán uso de piezas de 45 x 20 cms. Cortando cuadrados iguales en las 4 esquinas y doblando. Encuentra la longitud del lado del cuadrado que será cortado en cada esquina si se quiere obtener una caja que encierre el mayor volumen posible.
Respuestas
La longitud del lado del cuadrado que debe ser cortado para obtener una caja que encierre el mayor volumen posible es x = 4,33 cm.
Definición de las variable
De acuerdo con el gráfico que se anexa podemos decir
Largo = L = 45 - 2x
Ancho = A = 20-2x
Altura = H = x
en donde x es el lado del cuadrado que debe cortarse para generar la caja
Por otro lado el volumen de la caja será, de acuerdo con las dimensiones arriba definidas será
V(x) = (45 - 2x)(20 - 2x)(x) = 4x³ - 130x² + 900x
Para hallar el mayor volumen posible de la caja, igualamos a cero V'(x)
V'(x) = 12x² - 260x + 900 = 0
Esta es una ecuación de 2do grado que al resolver se obtendrán dos valores:
x₁ = 17,34 cm => Se desecha porque hace 20-2x < 0 lo que es ilógico
x₂ = 4,33 cm
Por lo tanto, el valor del cuadrado que debe ser cortado en cada esquina para que el volumen sea máximo es x = 4,33 cm
