Question

El desplazamiento de una partícula está representado por la expresión s(t)= t3-8, en donde s representa la posición de la partícula (dada en metros) y t es el tiempo (dado en segundos). ¿Cuál es la aceleración de la partícula en t=2segundos?


Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura del proyectil después de tsegundos está dada por s= 12t -t2. Determina el tiempo que le toma alcanzar su altura máxima.


Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura del proyectil después de t segundos está dada por s= 12t -t2. Determina la altura máxima que alcanza el proyectil.

Por favor con procedimiento

Answer 1

Explicación paso a paso:

Para el primer enunciado recordemos que la aceleración está dada por la segunda derivada de la función, en este caso, como nos pide la aceleración en t=2, debemos sacar la segunda derivada en t=2.

Primera derivada:

$\frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} ( {t}^{3} - 8) = 3t^{2}$

Segunda derivada:

$\frac{ {d}^{2} }{ {dt}^{2} } s(t) = \frac{ {d}^{2} }{ {dt}^{2} }(3 {t}^{2} ) = 3(2)t = 6t$

Y ahora evaluamos en t=2:

$\frac{ {d}^{2} }{ {dt}^{2} }s(2) = 6(2) = 12$

Entonces la aceleración a los dos segundos es de:

$a = 12 \frac{m}{ {s}^{2} }$

Ahora, para el segundo y tercer enunciado estamos buscando la t para la cual esa función se maximiza y el valor de la función en ese punto, respectivamente. Para obtener la primera debemos derivar la función e igualar la función a cero para encontrar sus raíces.

Derivando:

$\frac{d}{dt} s(t) =\frac{d}{dt} (12t - {t}^{2} ) = 12 - 2t$

Igualando a cero y buscando las raíces:

$12 - 2t = 0 \\ 12 = 2t \\ t = \frac{12}{2} = 6$

Entonces sabemos que en t=6 se maximiza s(t), es decir, se tarda 6 segundos en alcanzar su altura máxima.

Ahora encontremos la altura máxima, y para eso nos basta evaluar la función en t=6:

$s(6) = 12(6) - {6}^{2} = 72 - 36 = 36$

Es decir, alcanza su altura máxima a los 36 metros.