Question

2cos^2x+senx=1




2csc^2x-4=0

Answer 1

Respuesta:

$x = 45 + 2\pi n; n \in Z$ o $x = 315 + 2 \pi n; n \in Z$

Explicación:

Debes utilizar identidades trigonométricas. Para el primer caso:

$2cos^2 x + sen x = 1 \\ \\ 2 (1 - sen^2 x) + sen x = 1 \\ \\2 - 2sen^2 x + sen x = 1$

Ahora reorganizando los términos e igualando a cero, para que quede una ecuación cuadrática:

$-2sen^2 x + sen x  + 1 = 0$

Se hace un cambio de variable, $u = sen(x)$, entonces:

$-2u^2 + u + 1 = 0$

Resolviendo con fórmula cuadrática, se obtiene que:

$u_1 = - \frac{1}{2} \\ \\ u_2 = 1$

Sustituyendo las variables de nuevo:

$sen(x) = - \frac{1}{2} \\ \\ sen(x) = 1$

Aplicando funciones inversas se tiene que:

$x = 330 + 2 \pi n; n \ in Z$ o $x = 90 + 2 \pi n; n \in Z$

Para la segunda es algo análogo, aunque más corto:

$2Csc^2 x = 4$

$Csc^2 x = \frac{4}{2}$

$Csc^2 x = 2$

Utilizando la definición de cosecante:

$\frac{1}{sen^2 x} = 2$

Despejando seno:

$sen^2 x = \frac{1}{2}$, aplicando funciones inversas tienes que:

$x = 45 + 2\pi n; n \in Z$ o $x = 315 + 2 \pi n; n \in Z$

Saludos.