Question

Encuentra el polinomio de Lagrange para cierta función f de la que conocemos que f(-1)=1; f(0)=-0; f(1)=1; f(2)=8

Answer 1

El polinomio de Lagrange que pasa por los cuatro puntos es L(x) = 2x(x+2)(x-1/2)/3

El polinomio de Lagrange de una función que pasa por cuatro puntos se describe de la siguiente manera

$(x_1, y_1); (x_2, y_2); (x_3, y_3); (x_4, y_4);\\\\L(x) = y_1l_1(x) + y_2l_2(x) + y_3l_3(x) + y_4l_4(x)\\\\l_1(x) = \frac{x-x_2}{x_1-x_2} \frac{x-x_3}{x_1-x_3}\frac{x-x_4}{x_1-x_4}  \\\\l_2(x) = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \frac{x-x_3}{x_2-x_3}\frac{x-x_4}{x_2-x_4}  \\\\l_3(x) = \frac{x-x_1}{x_3-x_1} \frac{x-x_2}{x_3-x_2}\frac{x-x_4}{x_3-x_4}\\  \\l_4(x) = \frac{x-x_1}{x_4-x_1} \frac{x-x_2}{x_4-x_2}\frac{x-x_3}{x_4-x_3}$

En nuestro caso tenemos los siguientes puntos

(-1, 1), (0,0), (1,1), (2,8)

por lo que

$L(x) = l_1(x) + l_3(x) + 8l_4(x)\\\\l_1 (x) = \frac{x}{-1} \frac{x-1}{-2}\frac{x-2}{-3} = -\frac{x(x-1)(x-2)}{6}\\\\l_3(x) = \frac{x+1}{2}\frac{x}{1}\frac{x-2}{-1} = -\frac{x(x+1)(x-2)}{2}\\\\l_4(x) = \frac{x+1}{3}\frac{x}{2}\frac{x-1}{1} = \frac{x(x^2-1)}{6}$

Si se simplifica la expresión queda el polinomio L(x) = 2x(x+2)(x-1/2)/3, por lo que este es el polinomio de Lagrange de la función