Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante.
v =(-4,2) w = (-3,-2)
Respuestas
El ángulo entre ellos es de 60°
La magnitud del vector resultante es: (-7, 0)
La dirección del vector resultante es: 0° dirección Oeste
Para hallar el angulo α entre dos vectores en R2 se utiliza la formula:
Cos α = ( v . w) / (|v| . |w|)
Donde v . w es el producto escalar de los vectores
Recordemos que el producto escalar es v1 . w1 + v2 . w2
Dado que v = (-4,2) y w = (-3, -2)
El producto escalar v . w será : -4 . (-3) + 2 . (-2) = 12 + (-4) = 8
Debemos hallar también |v| y |w|
El modulo de un vector en R2 es la raiz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado
Tenemos que
|v| = √(-4)²+(2)² = √16+4 = √20
|w| = √(-3)²+(-2)² = √9+4 = √13
Luego sustituimos los valores calculados en la formula:
Cos α = ( v . w) / (|v| . |w|) = 8 / (√20 . √13) = 8/√260
Usando una calculadora nos queda que Cos α es aproximadamente
Cos α = 8/16,12 = 0,496 que aproximado a dos decimales es 0,5 ó 1/2
Por lo tanto tenemos que: Cos α = 1/2
Aplicando la función inversa del coseno tenemos que α vale 60°
arccos(0,5) = 60°
Luego α = 60°
Magnitud del vector resultante (se suman las componentes de los vectores v y w):
v + w = (-4+(-3) , 2+(-2)) = (-7,0)
Dado que el vector resultante es un vector con coordenadas (-7,0) estará sobre el eje x en dirección Oeste, por lo tanto su dirección es 0° al Oeste