The interior angles of a polygon are in arithmetic progression. If the smallest angle be 120° and the common difference be 5°, find the number of sides of this polygon.
(Los ángulos interiores de un polígono están en progresión aritmética. Si el ángulo más pequeño es 120 ° y la diferencia común es 5 °, encuentre el número de lados de este polígono.)
Respuestas
El polígono cuenta con un número de lados igual a:
9 lados
Los ángulos internos de un polígono regular son los ángulos que forman dos lados contiguos y se encuentran dentro del polígono.
∡interno = 180° (n -2) / n
La suma de los ángulos internos debe dar un valor conocido.
∑∡interno = 180° (n -2)
Datos:
ángulo interno 120°
d = 5
Progresión aritmética:
d = ∡n+1 - ∡n
Formula general de la progresión aritmética:
an = a1 + ( n -1 ) . d
Sn = n(a1) +d(n)(n-1)/2
Buscando que la sumatoria de los perímetros n términos nos de la sumatoria del ángulo interno:
Para n = 8:
S8 = (8)(120°)+ (5°)(8)(8-1)/2 = 1100°
Sustituimos 8;
∑∡interno = 180° (8 -2)
∑∡interno = 1080°
"No cumple"
Para n = 9:
S8 = (9)(120°)+ (5°)(9)(9-1)/2 = 1260°
Sustituimos 9;
∑∡interno = 180° (9 -2)
∑∡interno = 1260°
"Si cumple"
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