Question

cuantas veces habra que multiplicar por 12 a 420 para que el producto resultante tenga 180 divisores

Answer 1

Respuesta:

3 veces

Explicación paso a paso:

veamos el último problemita del día para cerrar mi contribución

sea n veces que se debe multiplicar, entonces:

420 x 12 x 12 x 12 x  ................. = N (tenga 180 divisores)

entonces:

420 x 12ⁿ = 60 x 7 x 3ⁿ x 2²ⁿ = 3 x 5 x 2² x 7 x 3ⁿ x 2²ⁿ = 3ⁿ⁺¹x5x7x2²ⁿ⁺²

de aqui, por dato se tendrá que:

Nd = (n+2)(2)(2)(2n+3) = 180 , efectuando

(n+2)(2n+3) = 45

2n² + 3n + 4n + 6 = 45

2n² + 7n - 39 = 0

2n ...............13

n....................-3

(n-3)(2n+13) = 0   -------> n = 3  ∨  n = -13/2

como n representa una cantidad de veces que se multiplica, entonces

descartamos el negativo quedando que n = 3 veces

Answer 2

Al número 420 se le debe multiplicar 3 veces por 12 para que el número resultante tenga 180 divisores

Si un número "a" tiene descomposición en factores primos de la siguiente manera:

$a = p_{1} ^{n_{1} }* p_{2} ^{n_{2} }*...*p_{n} ^{n_{n} }$

Entonces el número de divisores que tiene "a" es:

(n₁ + 1)* (n₂ + 1)*....*(nn + 1)

Luego si descomponemos a 420 en factores primos:

420 = 2²*3*7*5

Si multiplicamos "n" veces 12, obtenemos el número:

420*12ⁿ = 2²*3*7*5*(3*2²)ⁿ = 2²*3*7*5*3ⁿ*2²ⁿ

= 2²⁺²ⁿ*3ⁿ⁺¹*7*5

Entonces el número de divisores es

(2 + 2n + 1)*(n + 1 + 1)*(1 + 1)*(1 + 1)

= (2n + 3)*(n + 2)*2*2

= (2n + 3)*(n + 2)*4

Como queremos que tenga 180 divisores:

(2n + 3)*(n + 2)*4 = 180

(2n + 3)*(n + 2)  = 180/4

(2n + 3)*(n + 2) = 45

2n² + 4n + 3n + 6 - 45 = 0

2n² + 7n - 39 = 0

2*(n - 3)*(n +6.5) = 0

Como n positivo y entero, entonces n = 3

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