Question

Dadas las siguientes progresiones (a_n ), calcular el enésimo término y calcular la suma de los 10 primeros términos en cada progresión.

a_n={1,4,7,10,13...u_n} a_n={-5,-15,-45,-135,-405....u_n}

Answer 1

Los resultados de las series finitas son 145 y -147.620 respectivamente

Para poder resolver los ejercicios, debemos observar las siguientes series finitas

$\sum_{k=1}^{n}{wa_k} = w\sum_{k=1}^{n}{a_k}\\\\\sum_{k=1}^{n}{w} = wn\\\\\sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2} \\\\\sum_{k=1}^{n}{a_k + b_k} = \sum_{k=1}^{n}{a_k} + \sum_{k=1}^{n}{b_k} \\\\\sum_{k=0}^{n}{r^k} = \frac{r^{k+1} - 1}{r-1}$

Luego, se debe verificar que las sucesiones siguen los siguiente patrones

• Primera sucesión: a_n = 3n - 2, n ≥ 1
• Segunda sucesión: a_n = -5*3^n, n ≥ 0

Por lo que podemos proceder a la determinación de las series:

Primer Ejercicio

Tenemos

$\sum_{k=1}^{n}{3k-2} = \sum_{k=1}^{n}{3k}  -\sum_{k=1}^{n}{2} = 3\sum_{k=1}^{n}{k} - 2n = 3\frac{n(n+1)}{2}  - 2n = n( \frac{3}{2}(n+1) - 2 ) = \frac{n}{2}(3n+3-4) \\\\\sum_{k=1}^{n}{3k-2} = \frac{n}{2}(3n-1)$

Por lo que si hacemos n = 10, tenemos 10/2(3*10-1) = 5*29 = 145

Es decir, la suma de los 10 primeros términos de la sucesión es 145

Segundo Ejercicio

En este caso, podemos plantear la siguiente ecuación

$\sum_{k=0}^{n}{-5*3^k} = -5\sum_{k=0}^{n}{3^k} = -5\frac{3^{n+1} - 1}{3-1} = -\frac{5}{2}(3^{n+1}-1)$

Para este caso, debemos hacer n = 9 pues nosotros empezamos a contar desde el cero, si hacemos esto nos queda lo siguiente

(-5/2)(3^{9+1} - 1) = (-5/2)(3^10-1) = (-5/2)(59.049-1) = -5(29.524) = -147.620

Lo cual es el resultado de sumar los primeros 10 términos de la sucesión