Question

El arco de una casa es semielíptico, con eje mayor horizontal. La base mide 6 m y la parte más alta del arco mide 2 m arriba del piso, ¿cuál sería la altura a los 2 m de la base?

Answer 1

La altura a los 2 m de la base es de  $\bold{y=\frac{4\sqrt{2}}{3} \quad m}$

Explicación:

Se sabe que:

Ecuaciones Canónicas de la Elipse:

Eje mayor horizontal: $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Eje mayor vertical: $\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1$

a = distancia del centro (C) a los vértices (V) sobre el eje mayor

b = distancia del centro (C) a los vértices (A) sobre el eje menor

Centro:     (h, k)

En el caso del arco de la casa, podemos asumir que la base coincide con el eje  x  y que el centro coincide con el origen; es decir,

Centro en    C  =  (0,0),

eje mayor de longitud   6   paralelo al eje x

semieje menor de longitud 2   paralelo al eje  y

Conocemos:

h  = 0,    k = 0

Eje mayor  =  2a  = 6       ⇒      a  =  3

Semieje menor  =   b  =  2

Ecuación de la elipse:

$\frac{(x-0)^{2}}{9}+\frac{(y-0)^{2}}{4}=1 \quad \Rightarrow \quad \bold{\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1}$

Ahora responderemos a la interrogante ¿cuál sería la altura a los 2 m de la base?

Si la base mide  6  m  y la altura pedida es a los  2  m  de la base, estamos hablando del valor  x  =  -1  o  x  =  1, dependiendo desde que extremo se midan los  2  m.

Sustituimos    x  =  1    en la ecuación de la elipse y obtenemos el valor correspondiente a la altura  y:

$\frac{(1)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{y^{2}}{4}=\frac{8}{9} \quad \Rightarrow \quad$

$y^{2}=\frac{32}{9} \quad \Rightarrow \quad y=\sqrt{\frac{32}{9}} \quad \Rightarrow$

La altura a los  2  m  de la base será:

$\bold{y=\frac{4\sqrt{2}}{3} \quad m}$