Question

Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales Exactas. Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (√(1+x^2 )+x^2-ln⁡x )dy+((xy/√(1+x^2 ))+2xy-y/x)dx=0

Answer 1

La solución general de la ecuacion diferencial dada es: y√(1+x²) + yx² - ylnx = C

Explicación paso a paso:

Reescribimos la ecuacion diferencial

(√(1 +x²) + x² - lnx)dy + (xy/√(1 +x²) + 2xy - y/x)dx = 0

Verificamos si se puede resolver por el método de exactas derivando

• primer termino respecto a X

1/2 2x/√(1 +x²) + 2x - 1/x

x/√(1 +x²) + 2x - 1/x

• Segundo termino respecto a Y

x/√(1 +x²) + 2x - 1/x

Se cumple la igualdad, Aplicamos método de exactas

Integramos respecto a X

∫xy/√(1 +x²) + 2xy - y/x)dx

∫xy/√(1 +x²)dx + ∫2xydx - ∫y/xdx

∫xy/√(1 +x²)dx     : v = 1 + x² ; 1/2dv = xdx

y/2 ∫1/√v dv

y/2 2√(1+x²) = y√(1+x²)

∫2xydx = yx²

∫y/xdx = ylnx

y√(1+x²) + yx² - ylnx + h(y)

Derivamos e igualamos al termino de Y

d/dy (y√(1+x²) + yx² - ylnx + h(y)) = (√(1 +x²) + x² - lnx)

(√(1+x²) + x² - lnx + h'(y)) = (√(1 +x²) + x² - lnx)

h'(y) = 0

h(y) = ∫h'(y) = C

La solución general sera

y√(1+x²) + yx² - ylnx = C