Question

Por fa su ayuda con este Problema: En la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se memoriza algo es proporcional a la cantidad de datos por memorizar, suponga que M representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar y que A(t) es la cantidad memorizada cuando el tiempo es t, Cual es la ecuación diferencial que expresa y la solución para determinar la cantidad A(t) para cualquier t. ∂A/∂t=k(M-A),k>0,A(t)=M+Ce^kt

Answer 1

La ecuación diferencial que expresa la tasa de cambio de la cantidad  A(t)  para cualquier t es:

$\bold{\frac{dA}{dt} = k(M-A)}$  

y la solución para determinar la cantidad A(t) para cualquier t:

$\bold {A_{(t)} =M-Ce^{-kt}}$

Explicación:  

Si  M  representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar, A(t) es la cantidad memorizada cuando el tiempo es  t  y  k  una constante de proporcionalidad, la ecuación diferencial que expresa la tasa de cambio de la cantidad  A(t)  para cualquier t es:  

$\bold{\frac{dA}{dt} = k(M-A)}$  

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, que se resuelve de la siguiente manera:

$\frac{dA}{dt} = k(M-A) \quad \Rightarrow \quad \frac{dA}{(M-A)} = k dt \quad \Rightarrow$  

$\frac{dA}{dt} = k(M-A) \quad \Rightarrow \quad \int{\frac{dA}{(M-A)}} = \int{k dt} \quad \Rightarrow$  

$\frac{dA}{dt} = k(M-A) \quad \Rightarrow \quad Ln(M-A) = -kt+C \quad \Rightarrow$  

$\bold {A_{(t)} = M-Ce^{-kt}}$