Question

hallar el tiempo que se emplea en cancelar una deuda de$3,880 pagando $27 el primer mes,$29 el segundo,$31 el tercero,etc.

Answer 1

Eso es una progresión aritmética donde el primer término (a₁) es 27 y la diferencia con los siguientes (d) es 2.

Primero necesitamos saber la fórmula que nos da el término general
(an = a subene)  de la progresión, es decir, la que nos dice el valor de cualquier término de la progresión. Y ya te diré por qué.

Para hallar el término general recurro a:

an = a₁ + (n-1) · d ... sustituyendo valores...
an = 27 + (n-1) · 2 = 27 +2n -2 = 25+2n  <---- término general.

Siempre puede comprobarse que ese término general nos da la progresión que estamos tratando, dando valores a "n" de este modo:
Para n = 1 ... 25+(2×1) = 27
Para n = 2 ... 25+(2×2) = 29
Para n = 3 ... 25+(2×3) = 31 ... etc...

Ahora ya hay que recurrir a la fórmula de SUMA DE TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA (Sn) ya que si sumamos todos los pagos que se harán para cancelar esa deuda, debe darnos el total de 3880.

Ya hemos hallado esto: an = 25+2n

La fórmula dice:
Sn = (a₁ + an)·n / 2 ... eliminando el denominador...
2·Sn = (a₁+an)·n ..... sustituyendo lo que tenemos... 2·3880 = [27 + (25+2n)]·n
--> 7760 = (52 +2n)·n --> 7760 = (52n + 2n²)

quedando la ecuación de 2º grado...
7760 = 52n + 2n² ----------> 2n² +52n -7760 = 0
dividiendo todo entre 2... ---> n² +26n -3880 = 0

Resolviendo por fórmula general de ec. de 2º grado compruebo que al extraer la raíz cuadrada al discriminante (el radicando) no sale exacto.

He comprobado varias veces las operaciones y no encuentro el error y te aseguro que en el procedimiento no lo hay, así que debo suponer que lo que está mal es el dato de la deuda, 3880.

Según este procedimiento, se calcula "n" = nº de términos de esa progresión y te hago ver que cada término corresponde a un mes, así que hallando "n" sabríamos el nº de meses, o sea, la respuesta al ejercicio.

Saludos.