Question

Me pueden ayudar a contestar la pregunta de la imagen por fa

Answer 1

El modelo que describe al crecimiento de la población es P(t)= 10^{t/2 + 5} donde t está medido en horas

Para determinar esta fórmula, se debe recordar que la cantidad de bacterias crece de manera exponencial, por lo que el modelo general es el siguiente

$P(t)=a^{bt}P_0$

Donde P_0 es la población inicial y tanto a como b son variables que hay que buscar, en este caso, podemos dar una aproximación de b como 1/6 pues el periodo que vamos a estudiar (6 horas)

Por lo que la primera aproximación es

$P(t)=a^{t/6}P_0$

Si hacemos t =0, vemos que la población es 100.000 bacterias, por lo que

$P(t)=a^{t/6}P_0\\\\P(0)=100.000 = a^{0/6}P_0 =P_0\\\\P(t)=a^{t/6} \times 100.000$

Ahora, vemos que cuando t = 6, entonces la población es 100.000.000 bacterias, por lo que

$P(6)=a^{6/6} \times 10^5 = 10^5 a = 10^8 \implies a = \frac{10^8}{10^5} = 10^3\\\\P(t)= 10^{3(t/6)} \times10^5 = 10^{t/2} \times 10^5 \\\\P(t)=10^{t/2 + 5}$

Ahora, si se quiere ver cuanto tarda la población en duplicarse, simplemente debemos hacer lo siguiente

$2P_0 =10^{t/2}P_0 \implies 2 = 10^{t/2} \implies log(2)=t/2 \\\\t = 2log(2) = log(4)$

Es decir, la población se duplica cada 0.6 horas o cada 36 minutos, además, esta se duplica 10 veces para poder llegar a 100.000.000 de bacterias