Question

Para tratar de innovar una empresa
encuentra que la demanda semanal de un
televisor de 32 pulgadas está dada por
P=-0.05x+600, donde P es el precio unitario
en dólares y x es la cantidad demandada. La
función de costo total semanal relacionada
con la fabricación de estos televisores está
dada por
C(x)=0.000002x3-0.03x2+400x+80000,
dólares. Encuentre el nivel de producción que
rinde la ganancia máxima para el fabricante.
Recuerde que los ingresos son R(x)=Px y las
ganancias U(x)=R(x)-C(x).

Answer 1

El nivel de producción que rinde la ganancia máxima para el fabricante de televisores de 32 pulgadas es:

3333 cantidad de producción

Datos:

Demanda semanal de un tv de 32 pulgadas

P = -0.05x + 600

donde,

P: precio unitario en dolares

x: cantidad de demanda

Función costo semanal de fabrica de un tv:

C(x) = 0.000002x³ - 0.03x² + 400x + 80000, dolares

Ingresos: R(x) = Px

Ganancia: U(x) = R(x)-C(x)

Nivel de producción para una ganancia máxima:

R(x) = ( -0.05x + 600)x

R(x) = -0.05x² + 600x

U(x) =  -0.05x² + 600x - (0.000002x³ - 0.03x² + 400x + 80000)

U(x) = -0.000002x³ + (-0.05+0.03)x² +(600-400)x -80000

U(x) = -0.000002x³ - 0.02x² + 200x - 80000

Aplicamos primer derivada;

U'(x) = d/dx(-0.000002x³ - 0.02x² + 200x - 80000)

d/dx(-0.000002x³) = - 0.000006x²

d/dx(-0.02x²) = -0.04x

d/dx(200x) = 200

d/dx(80000) = 0

U'(x) = - 0.000006x²-0.04x + 200

Iguar a cero;

- 0.000006x²-0.04x + 200 = 0

Aplicamos la resolvente:

$x_{1} = \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

$x_{2} = \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

siendo;

a = -0.000006

b = -0.04

c =200

Sustituir;

$x_{1} = \frac{0.04+\sqrt{(-0.04)^{2}-4(-0.000006)(200) } }{2(-0.000006)}</p><p>$

$x_{1} = \frac{0.04+\sqrt{0.0016+0.0048 } }{-0.000012}$

$x_{1} = \frac{0.04+\sqrt{0.0064 } }{-0.000012}$

$x_{1} = \frac{0.04+0.08}{-0.000012}$

x_1 = -10000

$x_{2} = \frac{0.04-0.08}{-0.000012}$

x_2 = 3333,333

 

Aplicamos segunda derivada:

U''(x) = d/dx( - 0.000006x²-0.04x + 200)

d/dx(- 0.000006x²) = -0.000012x

d/dx(-0.04x) = -0.04

d/dx(200) = 0

U''(x) = -0.000012x - 0.04

Evaluamos x_2 en U''(x);

U''(x_2) = -0.000012(3333.33) - 0.04

U''(x_2) = -0.07999

El valor es negativo, por lo tanto 3333 es el nivel de producción que genera la ganancia máxima.