Question

Identifique el dominio y rango de la función, además de los puntos de intersección con los ejes sí los hay


$f(x)=\frac{4x^3-2}{x^3+3} \\\\\\f(x)=2x^2+3x+1$


Graficas:

Answer 1

Para poder determinar el dominio y rango de una función hay que determinar donde esta y su inversa están definidas

Para poder determinar el dominio de una función simplemente debemos ver donde la función es existe, es decir, si es una función racional esta está definida en todos los puntos excepto en los que el denominador se hace 0.

Para hallar el rango de la función, podemos hallar los valores mínimos y máximos de la función o ver donde la inversa de la función está definida

Ahora, si se quiere determinar los cortes con los ejes coordenados,debemos hacer lo siguiente

• hacer x= 0 si se quiere hallar el corte con el eje Y
• hacer f(x) = o si se quiere hallar el corte con el eje X

Primer Ejercicio

Podemos ver que la función está definida en todo los números reales excepto en los que se cumple x³ + 3 = 0 ó x³ = -3 ⇒ x = -∛3  

Por lo que su rango es R - {  -∛3   }

La inversa de la función se halla de la siguiente manera

y = (4x³ - 2)/(x³ + 3)

(x³+3)y = 4x³ - 2

3y + 2 = (4-y)x³

x³ = (3y+2)/(4-y)

Aquí se puede ver que la inversa no está definida en y = 4, por lo que su rango es R - {4}

Al hacer x = 0, podemos obtener el corte con el eje Y, que es

(4*0³ - 2)/(0³ +3) = -2/3

(0, -2/3)

Y si queremos hallar el corte con el eje X, pues vemos lo siguiente

0 = (4x³-2)/(x³+3) ⇒ 4x³ - 2 = 0 ⇒ 2x³ - 1 = 0 ⇒ x = ∛(1/2)

Por lo que este corte es (∛(1/2), 0)

Segundo Ejercicio

Podemos notar a simple vista que la función esta definida en todo el intervalo, es decir, no existe ningún punto en el f(x) no exista; esto implica que el dominio de la función es todo R.

Ahora, para hallar el rango de esta función debemos ver que el mínimo de esta función se logra en x = -3/4, es decir en f(-3/4)=2(-3/4)² + 3(-3/4)+1 = 9/8 - 9/4 + 1 = -1/8

O en el punto (-3/4, -1/8)

Habiendo hecho esto, notamos que como -1/8 es un mínimo absoluto, entonces no hay ningún valor menor a -1/8 para el que la función está definida, por lo que su rango es [-1/8, ∞)

Se puede verificar que fácilmente que la función corta al eje X en x = -1 y x = -1/2, por lo que sus intersecciones son (-1,0) y (-1/2, 0).

Ahora, para ver donde corta al eje Y, simplemente hacemos x=0, lo que queda como

f(0) = 2*0² + 3*0 + 1 = 1

Es decir, el otro corte es (0,1)