Question

como se integra esta ecuacion

Answer 1

La ecuación se integra por aplicación de las propiedades de la integral y de fórmulas de integración inmediata.

Explicación paso a paso:

$\bold{\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx}$

En primer lugar factorizamos el denominador:

$\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx =\int{\frac{2x+1}{2\sqrt{x}+\sqrt{2}\sqrt{x}}}\,dx=\int{\frac{2x+1}{(2+\sqrt{2})\sqrt{x}}}\,dx$

Se reescribe el radical como una potencia fraccionaria negativa, permitiendo que el integrando se exprese como un producto

$\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx =\int{\frac{(2x+1)x^{-\frac{1}{2}}}{(2+\sqrt{2})}}\,dx \quad \Rightarrow$

Separamos en dos integrales inmediatas

$\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx =\frac{1}{2+\sqrt{2}} [\int{2x^{\frac{1}{2}}}\,dx+ \int{x^{-\frac{1}{2}}}\,dx] \quad \Rightarrow$

Se obtiene la solución aplicando la fórmula de integración de potencias

$\bold{\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx =\frac{1}{2+\sqrt{2}}[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}+ 2x^{\frac{1}{2}}}]+C}$