Question

si p es un número primo con p>2, entonces podremos asegurar que un número impar es:

a) p²± 2
b) p - 3
c) p²± 1
d) 3 p± 1

Answer 1

Si p es un número primo con p>2, entonces podremos asegurar que un número impar es p²± 2  

El único número primo es 2: si p es un número primo con p>2, entonces podremos asegurar que p es impar, por lo tanto p = 2k + 1, para algún entero k.

Veamos cada uno de los casos:

a) p²± 2  

= (2k + 1) ² ± 2 = 4k² + 4k  + 1 ± 2 =

= 2*( 2k² + 2k ± 1) + 1, que es impar siempre.

b) p - 3

2k + 1 - 3 = 2k - 2 = 2*(k - 1), que es par siempre.

c) p²± 1

= (2k + 1) ² ± 1 = 4k² + 4k  + 1 ± 1

= 4k² + 4k + 1 + 1 = 4k² + 4k + 2 ó 4k² + 4k + 1 - 1 = 4k² + 4k

= 2*( 2k² + 2k + 1) ó 2*(2k² + 2k), que es par siempre.

d) 3 p± 1

= 3*(2k + 1) ± 1

= 6k + 3 ± 1

= 6k + 3 + 1 = 6k + 4 ó 6k + 3 -1 = 6k + 2

= 2*(3k + 2) ó 2*(3k + 1), que es par siempre.