La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es de 20 cm. Calcula las longitudes de los catetos para que él área del triángulo sea máxima.
a) ¿Cual será el área máxima?
b) Calcula las longitudes de los catetos para que él área sea la mitad del área máxima calculada.
Respuestas
La longitud de los catetos para que el área sea máxima son: ca=9cm y co = 11cm. el área máxima es de 49,5 cm².
Las longitudes de los catetos para que el área sea la mitad del área máxima calculada son : ca=4,5 cm y co = 11 cm
ca: cateto adyacente
co: cateto opuesto
Área = co*ca/2
La suma de los catetos es 20cm
co + ca = 20
Despejamos co
co = 20 - ca
Sustituimos en el área
Área = (20-ca)ca/2
Área = (20ca - ca²)/2
Área = 10ca - ca²/2
Hallamos la primera derivada para hallar el punto ca máximo para que el área sea la mayor
Area' = 10 -2ca/2= 10 - ca = 0
Despejamos ca
ca = 9cm
ca debe ser 9 para que el área sea la máxima
co = 20 - 9 = 11cm
Areamax = 11*9/2 = 49,5 cm²
Longitudes de los catetos para que el área sea la mitad del área máxima
Areamax/2 = 49,5/2 = 24,75 cm²
co*ca/2 = 24,75
co*ca = 24,75*2 = 49,5 cm²
co= 49,5/ca
Si tomamos ca = 4,5 cm
co = 49,5/4,5 = 11 cm
Verificando, si co = 11 cm y ca = 4,5 cm
Area = 11cm*4,5cm / 2= 24,75cm²
Es decir,los catetos calculados cumplen con la condición de que el área sea igual a la mitad del área máxima calculada
Pregunta : De dónde sacas que el cateto adyacente vale 9
Ayuda por favor!!!!! Solo es una duda