Question

durante su preparación para los últimos Juegos Panamericanos un atleta de la delegación deportiva contrajo una infección. El médico de la delegación debía tener cuidado con el medicamento que le recetaria, por ello, estudió la bacteria. Así encontró que la resistencia de dicha bacteria a cierto antibiótico está dada por la función R(x)=x^(2)-200x+10 125, donde X es la dosis en miligramos de un antibiótico ¿cual será la dosis de antibióticos que hace mínima la resistencia de la bacteria? ¿de cuanto será la resistencia?

Answer 1

Solucionando el planteamiento tenemos que:

a) La dosis de antibióticos que hace mínima la resistencia de la bacteria es 100.

b) La resistencia será 125.

◘Desarrollo:

a) La dosis de antibióticos que hace mínima la resistencia de la bacteria:

Para conocer el valor mínimo de una función debemos obtener la primera derivada de la misma:

$R(x)=x^2-200x+10125$

Derivando:

$R'(x)=2x-200$

Igualamos a 0 para encontrar las raíz o valor crítico de la función:

$R'(x)=0$

$2x-200=0$

$x=\frac{200}{2}$

$x=100$

Buscamos un número mayor y menor al valor crítico y evaluamos en la primera derivada:

x= 100 :

x= 0 ; x= 101

$R'(x)=2x-200$

$R'(0)=2(0)-200$

$R'(0)= -200$

$R'(101)=2(101)-200$

$R'(101)= 2$

Con base en el criterio de la primera derivada: si f'(x) pasa de - a + por el valor crítico es un mínimo, en consecuencia, x=100 es un mínimo. La dosis de antibióticos que hace mínima la resistencia de la bacteria es 100.  

b) ¿De cuánto será la resistencia?

Evaluamos la función de resistencia en el punto x= 100.

$R(x)=x^2-200x+10125$

$R(100)=100^2-200(100)+10125$

$R(100)=125$