hallar 2 numeros cuya suma sea igual a 410 y que el producto del triple primero por el cubo del segundo sea un producto maximo
Respuestas
Respuesta:
Sean x y "y" los números, entonces x = 410 y Y=0
Explicación:
Lo que deseas es que x + y = 410 y además que 3xy^3 sea máximo, entonces despejas Y de la primera ecuación:
Y = 410 - x ... Y la remplazas en la segunda ecuación:
f(x) = 3x (410 - x)^3
Ahora, para encontrar puntos máximos de esa función, que es lo que pide el enunciado, se debe primero derivar la función:
f '(x) = 3(410 - x)^3 - 3x[3(410 - x)^2]
f ' (x) = 3(410 - x)^3 - 9x(410 - x)^2
f ' (x) = 3(410 - x)^2 [(410 - x) - 3x]
f ' (x) = 3(410 - x)^2 (410 - 4x)
Factorizando un 2 en el último paréntesis:
f ' (x) = 6(410 - x)^2 (205 - 2x)
Ahora, para encontrar el punto máximo se debe igualar a cero la derivada:
0 = 6(410 - x)^2 (205 - 2x)
Deshaciéndote del 6, 'pasándolo a dividir':
0 = (410 - x)^2 (205 - 2x)
Ahora, solamente hay dos casos:
1. (410 - x)^2 = 0
2. (205 - 2x) = 0
Para el primer caso, tomas raíz cuadrada a ambos lados y despejas x:
1. (410 - x)^2 = 0
410 - x = 0
x = 410
Para el segundo caso, se despeja x también:
2. (205 - 2x) = 0
205 = 2x
x = 102.5
La segunda opción se descarta y allí encuentras x.
Saludos.