Question

¿Me ayudan? El problema es el siguiente:

Debe construirse una caja abierta por arriba a partir de un trozo de cartón rectangular, que tiene dimensiones de 20 CM por 40 CM. Recortando cuadros iguales de lado x en cada esquina y luego doblando sus lados, exprese el volumen de la caja como si función de f.

Se supone que tengo que hacer análisis de variables independientes y cálculo de derivadas pero realmente me confundí, no soy buena en esto :(​

Answer 1

Se recortan cuadrados de lado x en las 4 esquinas y doblamos por los cortes.

Queda una caja sin tapa cuyo volumen es:

V(x) = (40 - 2 x) (20 - 2 x) x

Como el volumen no es nulo, los valores extremos de x son:

x > 0; 20 - 2 x > 0; o bien x > 10

Obviamente entre 0 y 10 debe haber un valor de x que maximice el volumen

V(x) = 4 x³ - 120 x² + 800 x

Una función es máxima en los puntos de primera derivada nula y segunda derivada negativa en esos puntos.

Derivamos.

V'(x) = 12 x² - 240 x + 800

V''(x) = 24 x - 240

Resolvemos V'(x) =  12 x² - 240 x + 800 = 0

Resulta x ≅ 4,23; la otra solución es mayor que 10, fuera de dominio

Para x = 4,23, V''(x) = 24 . 4,23 - 240 < 0, máximo

El volumen máximo es:

V = (40 - 2 . 4,23) (20 - 2 . 4,23) . 4,23 ≅ 1540 cm³

Adjunto dibujo de la función volumen con su valor máximo.

Mateo