Question

en un afluente de agua se requiere bajar la temperatura que trae de un proceso de manera inmediata antes de entrar a un tratamiento de agua para su mayor efectividad, para cierta constante C, el cambio de temperatura T se le agregará una dosis D, de un reactivo y está determinado por:
T=(C/2-D/3)D^3
¿qué dosis maximizar y minimiza el cambio de temperatura?
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Answer 1

D  =  0  minimiza y  D  =  9C/8  maximiza la función T.  

Explicación paso a paso:  

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de T.  

T'  =  [(C/2-D/3)D³]’  =  [(D³C)/2  -  D⁴/3]’  =  3D²C/2  -  4D³/3      

T'  =  0    ⇒     3D²C/2  -  4D³/3  =  0    ⇒    D²(3C/2  -  4D/3)  =  0    ⇒

D  =  0        ∨        D  =  9C/8  

Estos son los puntos críticos o posibles extremos de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

T''  =  3DC  -  4D²

Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

T''(0)  =  0    ⇒     el criterio no es concluyente; sin embargo al sustituir el valor cero en la función T esta se anula, por lo que podemos concluir que

D  =  0       es un mínimo de la función T.  

T''(9C/8)  <  0    ⇒     D  =  9C/8         es un máximo de la función T.