en un afluente de agua se requiere bajar la temperatura que trae de un proceso de manera inmediata antes de entrar a un tratamiento de agua para su mayor efectividad, para cierta constante C, el cambio de temperatura T se le agregará una dosis D, de un reactivo y está determinado por:
T=(C/2-D/3)D^3
¿qué dosis maximizar y minimiza el cambio de temperatura?
Respuestas
D = 0 minimiza y D = 9C/8 maximiza la función T.
Explicación paso a paso:
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de T.
T' = [(C/2-D/3)D³]’ = [(D³C)/2 - D⁴/3]’ = 3D²C/2 - 4D³/3
T' = 0 ⇒ 3D²C/2 - 4D³/3 = 0 ⇒ D²(3C/2 - 4D/3) = 0 ⇒
D = 0 ∨ D = 9C/8
Estos son los puntos críticos o posibles extremos de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
T'' = 3DC - 4D²
Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
T''(0) = 0 ⇒ el criterio no es concluyente; sin embargo al sustituir el valor cero en la función T esta se anula, por lo que podemos concluir que
D = 0 es un mínimo de la función T.
T''(9C/8) < 0 ⇒ D = 9C/8 es un máximo de la función T.