Question

Resuelve las siguientes integrales:


1.-Por partes ∫▒〖xe〗^5x dx
2.-Por partes ∫▒〖xe〗^3x dx

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Integral N1

$\int\ {xe^{5x} } \, dx$

A través del método ILATE

I= inversa

L=logarítmica

A=Algebraica

T=trigonométrica

E= exponencial

Se debe conocer las variables en orden para poder hacer el cambio de variable en este caso como la variable x esta en primera posicion  ya que representa la Algebraica y la e^5x dx esta en la segunda posicion representa la Exponencial

Cambio de variable

u=x     (ECU 1)

se deriva ''u'' con respecto a ''x''

$\frac{du}{dx} =1$

se despeja ''dx''

$du=dx$   (ECU 2)

Ahora corresponde identicar "dv''

$dv=e^{5x} dx$ (ECU 3)

se integra dv ambos lados:

$\int\ {dv} = \int\ e^{5x} dx$

Quedando la integral:

$v=\frac{e^{5x} }{5}$ (ECU 4)

''Ya que segun la formula de una integral exponencial queda'':

$\int\ {e^{mx} }dx=\frac{e^{mx}}{m} +c$

Ahora se procede a integrar por partes las variables (ECU 1), (ECU 2), (ECU 3), (ECU 4)

Formula:

$\int\ U* dv= U*v-\int\ v* du$

Susitutyendo las variables correspondientes queda:

$\int\ x* e^{5x} dx = x*\frac{e^{5x}}{5} -\int\ \frac{e^{5x} }{5} * dx$

Sacando la constante la integral queda de la siguiente forma:

$\int\ xe^{5x} dx= \frac{xe^{5x} }{5}-\frac{1}{5} \int\ e^{5x} dx$

$\frac{xe^{5x}}{5} -\frac{e^{5x}}{25} +c$

$\frac{e^{5x}*(5x-1)}{25} +c$

Integral N2

Se puede hacer una mención que se realiza de la misma forma que la integral N1

$\int\ {xe^{3x} } \, dx$

A traves del metodo ILATE

I= inversa

L=logarítmica

A=Algebraica

T=trigonométrica

E= exponencial

Se debe conocer las variables en orden para poder hacer el cambio de variable en este caso como la variable x esta en primera posicion  ya que representa la Algebraica y la e^3x dx esta en la segunda posicion representa la Exponencial

Cambio de variable

u=x     (ECU 1)

se deriva ''u'' con respecto a ''x''

$\frac{du}{dx} =1$

se despeja ''dx''

$du=dx$   (ECU 2)

Ahora corresponde identicar "dv''

$dv=e^{3x} dx$ (ECU 3)

se integra dv ambos lados:

$\int\ {dv} = \int\ e^{3x} dx$

Quedando la integral:

$v=\frac{e^{3x} }{3}$ (ECU 4)

''Ya que segun la formula de una integral exponencial queda'':

$\int\ {e^{mx} }dx=\frac{e^{mx}}{m} +c$

Ahora se procede a integrar por partes las variables (ECU 1), (ECU 2), (ECU 3), (ECU 4)

Formula:

$\int\ U* dv= U*v-\int\ v* du$

Susitutyendo las variables correspondientes queda:

$\int\ x* e^{3x} dx = x*\frac{e^{3x}}{3} -\int\ \frac{e^{3x} }{3} * dx$

Sacando la constante la integral queda de la siguiente forma:

$\int\ xe^{3x} dx= \frac{xe^{3x} }{3}-\frac{1}{3} \int\ e^{3x} dx$

$\frac{xe^{3x}}{3} -\frac{e^{3x}}{9} +c$

$\frac{e^{3x}*(3x-1)}{9} +c$