Respuestas
Los únicos números que cumplen esta propiedad son 9, 99, 333, 666, 999 y 9.999
Para poder llegar a esta conclusión, debemos saber que un número es múltiplo de 9 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de nueve. Ahora bien, también sabemos que los números tienen todos el mismo dígito y, además, solo tenemos que buscar todos los números con a lo sumo 4 cifras (puesto que son menores a 10.000 que tiene 5 cifras)
El hecho de que un número con las condiciones dadas sea múltiplo de 9 indica lo siguiente
d*n = 9m
Donde d es el dígito del número y m es una constante cualquiera, n es el número de cifras y m es una constante cualquiera
Se puede deducir fácilmente que 0 < m ≤ n, para n = 1, 2, 3, 4
Teniendo esto claro comenzamos a buscar a los números
n = 1
0 < m ≤ 1
d *1 = 9m
d = 9m
Pero el único valor posible es m = 1, por lo que
d = 9, con una cifra, es decir, k = 9 satisface las condiciones
n = 2
0 < m ≤ 2
2d = 9m
d = 9(m/2)
El único valor para m que permite que d sea un entero es m = 2 (puesto que 9/2 no es un entero)
Por lo que 99 es el único número que satisface las condiciones y tiene 2 cifras
n = 3
0 < m ≤ 3
3d = 9m
d = 9m/3
d = 3m
En este caso, tenemos que todos los valores de m (m = 1,2,3) permiten que d sea un entero, por lo que
d = 3*1 ⇒ 333 cumple la condición
d = 3*2 ⇒ 666 cumple la condición
d = 3*3 ⇒ 999 cumple la condición
n = 4
0 < m ≤ 4
Por último y de manera similar con n=2, se tiene lo siguiente
4d = 9m
d = 9(m/4)
En este caso solo m = 4 permite que d sea un entero, por lo que 9.999 es el único número de 4 dígitos que cumple con la condición