Question

En un maraton que inicia en el punto A(-6,10) deben colocarse cuatro estaciones de hidratacion separadas a distancias iguales y en linea recta, la meta esta situada en el punto B(8,-8), obten las coordenadas de los puntos donde deben colocarse las cuatro estaciones de hidratacion

Answer 1

Los puntos donde se deben encontrar las estaciones de hidratación son (-16/5, 32/5), (-2/5, 14/5), (12/5, -4/5) y (26/5, -22/5)

Para poder obtener cada uno de los puntos, debemos referirnos a las siguientes ecuaciones

$P(x_1, y_1); Q(x_2, y_2)\\\\x_r = \frac{x_1  x_2 r}{1+r}\\\\y_r = \frac{y_1 + y_2r}{1+r}$

Estas ecuaciones nos dan las coordenadas de un punto que divide a la recta PQ en una proporción r

Esto es útil debido a que queremos hallar 4 puntos que separen en ciertas proporciones a la recta AB, esos puntos van a ser las posiciones de las estaciones de hidratación. Para poder hallar las proporciones, debemos considerar la siguiente representación simplificada del problema

                   A ---------- | ---------- | ---------- | ---------- | ---------- B

                                  r1            r2           r3           r4

Para poder determinar cada una de estas proporciones (r1, r2, r3 y r4) debemos seguir esta regla: los espacios que se tengan desde la izquierda hasta al punto ENTRE los espacios que se tengan desde el punto a la derecha Nota: Cada espacio se delimita por cada punto

Teniendo esta regla en claro, podemos ver que r1 tiene un espacio hacia la izquierda, mientras que tiene 4 a la derecha, es decir, r1 = 1/4. Por otro lado, r2 tiene dos lados a la izquierda y tres a la derecha, lo que implica que r2 = 2/3. Siguiendo esta idea r3 = 3/2 y r4 = 4

Teniendo las proporciones, lo que queda es calcular cada una de las coordenadas de los puntos donde se situarán las estaciones de hidratación (usando la fórmula descrita anteriormente)

Primer Ejercicio

Como sabemos que r = 1/4, entonces se puede determinar lo siguiente

$A(-6, 10); B(8,-8); r = \frac{1}{4}\\\\x_r = \frac{-6+8(1/4)}{1+1/4} = \frac{-6+2}{5/4} = -\frac{16}{5}\\\\y_r = \frac{10-8(1/4)}{1+1/4} = \frac{10-2}{5/4} = \frac{32}{5}\\\\P_1(-\frac{16}{5}, \frac{32}{5})$

Segundo Ejercicio

Como sabemos que r = 2/3, entonces el punto es

$A(-6, 10); B(8,-8); r = \frac{2}{3}\\\\x_r = \frac{-6+8(2/3)}{1+2/3} = \frac{-6+16/3}{5/3} = \frac{(-18+16)/3}{5/3} = -\frac{2}{5}\\\\y_r = \frac{10-8(2/3)}{1+2/3} = \frac{10-16/3}{5/3} = \frac{30-16}{5}=\frac{14}{5}\\\\P_2(-\frac{2}{5}, \frac{14}{5})$

Tercer Ejercicio

En este caso r = 3/2, por lo que el tercer punto es

$A(-6, 10); B(8,-8); r = \frac{3}{2}\\\\x_r = \frac{-6+8(3/2)}{1+3/2} = \frac{-6+12}{5/2} = \frac{6}{5/2} = \frac{12}{5}\\\\y_r = \frac{10-8(3/2)}{1+3/2} = \frac{10-12}{5/2} = \frac{-2}{5/2}=-\frac{4}{5}\\\\P_3(\frac{12}{5}, -\frac{4}{5})$

Cuarto Ejercicio

Por último, r = 4, lo que el siguiente punto

$A(-6, 10); B(8,-8); r = 3\\\\x_r = \frac{-6+8*4}{1+4} = \frac{-6+32}{5} = \frac{26}{5}\\\\y_r = \frac{10-8*4}{4+1} = \frac{10-32}{5} = \frac{-22}{5}=-\frac{22}{5}\\\\P_4(\frac{26}{5}, -\frac{22}{5})$

Como vimos, ya hemos hallado los puntos en los cuales se deben encontrar las estaciones de hidratación.