Question

Una varilla delgada con la forma de un arco de circunferencia de radio r lleva una carga uniforme por unidad de longitud λ. el arco subtiende un ángulo total 2θ0, simétrico en torno al eje x, como se muestra en la figura. determine el campo eléctrico en el origen 0.

Answer 1

El campo eléctrico de un arco de 200 grados en el origen es:

Por definición el campo eléctrico (que es un vector) tiene la siguiente formula:

E=$\frac{1}{4π∈_{0}} \frac{q}{r^{2} } =k\frac{q}{r^{2} }$

Donde, donde ∈_{0}(“épsilon cero”) es una constante, el valor de la constante de proporcionalidad k en la ley de Coulomb depende del sistema  de unidades que se emplee y este valor es igual a:

k=$\frac{1}{4π∈_{0}}$

Por definición, el campo eléctrico de una carga puntual siempre tiene una dirección  que se aleja de una carga positiva pero se acerca hacia una carga negativa.

Para resolver este ejercicio se va a plantear el sistema de referencia de la imagen adjunta. Tenemos un arco de 200 grados simétrico con el origen y se espera hallar el campo eléctrico en el punto (0,0), dada una sección infinitesimal de carga dq (color verde) da origen un campo dE con componente -dEx y -dEy, al ser simétrico la componente dEx se cancela y solo queda componente dEy. Asi:

dEy=dEsen(θ)   (ya que el angulo que forma dE con y es Θ)

la longitud de la diferencial dq es dl, entonces:

dl=rdθ  

Ya que se distribuye uniformemente:

λ=$\frac{dq}{dl}$

dq=λdl=λrdθ

dEy=k$\frac{dq}{r^{2} } sen(θ)$

dEy=k$\frac{λrdθ}{r^{2} } sen(θ)$

Para resolver hay que integrar por ambos lados, se tiene:

Ey= k$\frac{λr}{r^{2} }$$\int\limits^a_b {sen(θ)} \, dθ$

Los limites de integración es de 0 grados a 200 grados

Ey=k$\frac{λ}{r}$(-cos(200)+cos(0))=1,93k$\frac{λ}{r}$ (j)

Por otro lado tenemos que como es uniforme, entonces:

λ=$\frac{9Q}{10πr}$

pasamos los 200 grados a radianes esto es:

200°=$\frac{10π}{9}$

Finalmente el campo eléctrico de un arco de 200 grados es:

Ey=1,93k $\frac{9Q}{10πr^{2} }$ (j)