la suma de tres números positivos que forman una progresión aritmética es 18 si a este número se le suma 2 4 y 11 respectivamente los nuevos números forman una progresión geométrica hallar los números iniciales
Respuestas
Los números iniciales que forman una progresión aritmética son 3, 6 y 9 cuya diferencia es 3
Sea "a" el primer número de la progresión y sea "d" la diferencia de la progresión.
a1 = a
a2 = a + d
a3 = a + 2d
La suma de los tres números es 18:
a + a + d + a + 2d = 18
3a + 3d = 18
3*(a + d) = 18
a + d = 18/3 = 6
a2 = a + d = 6
Por lo tanto:
a1 = 6 - d
a2 = 6
a3 = 6 + d
Ahora si le sumamos 2, 4 y 11 respectivamente se obtiene una progresión aritmética: llamemos "r" a la razón.
a1' = 6 - d + 2 = 8 - d
a2' = 6 + 4 = 10 = (8 - d)*r
a3' = 6 + d + 11 = 17 + d = (8 - d)*r²
Dividiendo a3' entre a2'
(17 + d)/10 = r
Sustituimos en a2'
10 = (8 - d)*((17 + d)/10)
100 = (8 - d)*(17 + d)
100 = 136 + 8d - 17d - d²
100 - 136 = -9d - d²
d² + 9 d - 36 = 0
Si buscamos las raíces:
d = -12 ó d = 3
Si d es - 12 entonces a3 = -6 y no seria positivo, por lo tanto d ≠ -12, lo que implica que d = 3
a1 = 6 - 3 = 3
a2 = 6
a3 = 6 + 3 = 9
Y la progresión aritmética es:
a1' = 3 + 2 = 5
a2' = 6 + 4 = 10
a3' = 9 + 11 = 20