Question

demostrar que un número de tres cifras es múltiplo de 3 si la suma de todas sus cifras es múltiplo de 3​

Answer 1

Sea $\overline{abc}$ un múltiplo de 3. Tal número se puede escribir de la siguiente forma

                                                100a + 10b + c

Sea N el número que resulta de dividir el número $\overline{abc}$ entre 3

$N=\dfrac{100a+10b+c}{3}=\dfrac{100}{3}a+\dfrac{10}{3}b+\dfrac{1}{3}c\\ \\\\N=(33 +\dfrac{1}{3})a+(3+\dfrac{1}{3})b+\dfrac{1}{3}c\\ \\\\N=(33a+3b)+\dfrac{1}{3}(a+b+c)\\ \\\\\text{Sea }33a+3b=N'\text{ un n\'umero entero}\\ \\N=N'+\dfrac{1}{3}(a+b+c)\\ \\\\N-N'=\dfrac{1}{3}(a+b+c)\\ \\\\\text{La diferencia de dos n\'umeros enteros es otro entero por tal raz\'on}\\\\\dfrac{1}{3}(a+b+c) \text{ es entero , es decir}: \\ \\ \\\dfrac{1}{3}(a+b+c)=N''\\ \\ a+b+c=3N''$

Con esto probamos que a+b+c es múltiplo de 3