● La rapidez de flujo sanguíneo por la aorta con un radio de 1.00 cm es de 0.265 m/s. Si el endurecimiento
de las arterias provoca que la aorta reduzca su radio a
0.800 cm, ¿por cuánto se incrementará la rapidez del flujo sanguíneo?
Respuestas
Respuesta: 1. P1 =F1 /A1 P2 =F2 /A2 1 2 y2 v1 y1 v2 FLUIDOS EN MOVIMIENTO Y ECUACIÓN DE BERNOULLI El flujo de un fluido puede ser en general muy complicado. Consideremos, por ejemplo el humo que asciende de un cigarro encendido.A1 principio el humo se eleva con una forma regular, pero pronto aparecen turbulencias y el humo empieza a ondear de forma irregular. El flujo turbulento es muy difícil de estudiar y, por consiguiente, solo estudiaremos el flujo en estado estacionario. Consideremos en primer lugar un fluido que fluye sin disipación de energía mecánica. Dicho fluido se denomina no viscoso. Supondremos también que el fluido es incompresible, y por tanto, su densidad es constante. Puede verse en el dibujo un fluido que circula por un tubo cuya sección recta tiene un área variable. La parte sombreada de la izquierda (zona 1) representa un elemento de volumen de líquido que fluye hacia el interior del tubo con una velocidad vl. El área de la sección recta del tubo en esta zona es Al. El volumen de líquido que entra en el tubo en el tiempo ∆t es ∆V = Al . vl . ∆t Como estamos admitiendo que el fluido es incompresible, debe salir del tubo en la zona 2 un volumen igual de fluido. Si la velocidad del fluido en este punto es v2 y el área correspondiente de la sección recta vale A2, el volumen es ∆V=A2 . v2 . ∆t. Como estos volúmenes deben ser iguales, se tiene A1 . v1 . ∆t. = A2 . v2 . ∆t., y por tanto Ecuación de continuidad. El producto Q = Av es una magnitud denominada flujo de volumen Q, gasto o caudal. Las dimensiones de Q son las de volumen/tiempo (p.e. litros por minuto) En el flujo estacionario de un fluido incompresible, el caudal es el mismo en todos los puntos de fluido. Ejemplo La sangre circula por una arteria aorta de 1,0 cm de radio a 30 cm/s. ¿Cuál es el flujo de volumen? Q = vA = 0.30. π. (0,01)2 = 9.4210-5 m3 /s Es costumbre dar la velocidad de bombeo del corazón en litros por minuto. Utilizando 1 litro = 10-3 m3 y 1 min = 60 s, se tiene 14 14 A1 . v1 = A2 . v2
2. Q=(9.4210~5 m3 /s) (103 ). (60/1) = 5.65 litros/minuto La altura y sección del tubo van variando como se indica en el dibujo, por tanto, para el líquido: La variación (ganancia o pérdida) de energía potencial al ascender (o descender) por el tubo es ∆U = mg(y2-y1) = ρVg(y2-y1) La variación de energía cinética del líquido es )( 2 1 2 1 2 2 vvm − , que en función de la densidad 2 1 ρV(v2 2 -v1 2 ) (siendo v la velocidad del fluido) El trabajo realizado por las fuerzas necesarias para mantener la presión suficiente para que el líquido suba es W=(P1-P2)V= ∆PV. Siendo ∆P la caída o diferencia de presiones en los extremos del tubo Aplicando el teorema trabajo-energía y la ecuación de continuidad, se tiene P1+ρgy1+1/2ρv1 2 = P2+ρgy2+1/2ρv2 2 es decir: P+ρgy+1/2ρv2 = constante Lo que significa que esta combinación de magnitudes calculada en un punto determinado de la tubería tiene el mismo valor que en cualquier otro punto. La ecuación anterior se conoce como ecuación de Bernoulli para el flujo constante y no viscoso de un fluido incompresible. Sin embargo, la ecuación de Bernoulli se aplica en muchos casos a fluidos compresibles como los gases. Una aplicación especial de la ecuación de Bernoulli es la que se tiene cuando el fluido está en reposo. Entonces vl = v2 = 0 y se obtiene P1-P2=ρg(y2-y1) = ρgh en donde h=y2-yl es la diferencia de altura entre dos puntos (algo que ya vimos anteriormente). Ejemplo Un depósito grande de agua tiene un orificio pequeño a una distancia h por debajo de la superficie del agua. Hallar la velocidad del agua cuando escapa por el orificio. Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos a y b de la figura y como el diámetro del orificio es mucho menor que el diámetro del deposito, podemos despreciar la velocidad del agua en su parte superior (punto a). Se tiene entonces Pa+ρgya =Pb+ρgyb+1/2ρvb 2 15 15 Nota: téngase en cuenta que el trabajo es W=Fx; de la definición de presión P=F/A, queda W=PAx y como el volumen es V=Ax; el trabajo se puede expresar como el producto de la presión por el volumen W=PV