Question

Cordial saludo quiero que me ayuden asolucionar estos ejercicios

1 De la siguiente elipse 4x^2+y^2-8x+4y-8=0.Determine:
.

a) Centro
.
b) Focos
.
c) Vértices

2) Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas vértice en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud =6

Answer 1

Veamos.

1) La forma ordinaria de la ecuación de una elipse es.

(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1

(h, k) son las coordenadas del centro.
a es el semidiámetro mayor
b es el semidiámetro menor

De la forma general se obtiene la forma ordinaria completando cuadrados:

4 (x² - 2 x + 1) + (y² + 4 y + 4) = 8 + 4 + 4 = 16; dividiendo por 16:

(x - 1)² / 4 + (y + 2)² / 16 = 1

Por lo tanto el centro es  C(1, - 2); a = 4 (eje mayor vertical) y b = 2

La distancia focal  es c = √(a² - b²) = √(16 - 4) = √12 = 3,46

Siendo el eje mayor vertical:

Yv = k + a = - 2 + 4 = 6, V (1, 2)

Y'v = k - a = - 2 - 4 = - 2; V' (1, - 6)

Focos, F(h, k + c) = F (1; - 2 + 3,46) = F (1; - 1,46)

F' (h, k - c) = F' (1; - 5,46) 

Vértices secundarios:

B (h + b; k) = B (3; - 2) 

B' (h - b; k) = B' (- 1; - 2) 

Adjunto gráfica

2) Las coordenadas del centro son x = 3, y = (1 + 9)/2 = 5 

C (3, 5)  

Según los datos el semieje mayor es 2 a = (9 - 1) = 8; a = 4

El eje semieje menor es 2 b = 6; b = 3

La ecuación ordinaria es entonces:

(x - 3)² / 9 + (y - 5)² / 16 = 1

Adjunto gráfica.

Saludos Herminio