2. Con una lámina cuadrada de cartón de 20 cm por lado se quiere construir una caja sin tapa, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los bordes. ¿Cuánto deben medir los lados de los cuadrados recortados para obtener un volumen máximo? y ¿cuál es el volumen?
Me pueden ayudar con este problema de Optimizacion de calculo diferencial?
Respuestas
La longitud de los lados de los cuadrados recortados para obtener un volumen máximo y el valor de dicho volumen son, respectivamente: L = 10/3 cm y V( 10/3 ) = 592.59 cm3
La longitud de los lados de los cuadrados recortados para obtener un volumen máximo y el valor de dicho volumen se calculan mediante la aplicación de la fórmula del volumen de un paralelepipedo y luego aplicando calculo diferencial como se muestra a continuación :
Lamina de cartón cuadrada de 20 cm de lado.
lado de los cuadrados = L =? Para V max
V(L)= ?
V(L) = (20-2L)·(20-2L)·L
Al realizar el producto y simpluificar se obtiene:
V(L) = (400- 80L + 4L²)·L
V(L) = 400L - 80L² + 4L³
dV(L)/dL = 400 - 160L + 12L²
dV(L)/dL =0
400 - 160L + 12L² =0
al resolver la ecuación de segundo grado se obtiene:
L = 10 cm L = 10/3 cm
20 - 2* 10 = 0 L = 10cm no es la longitud
20 - 2* 10/3 = 40/3 cm
20 - 2* 10/3 = 40/3 cm
L = 10/3 cm
V(10/3 ) = 40/3 cm *40/3 cm * 10/3 cm
V( 10/3 )= 592.59 cm³