Question

Alguien me ayudaría a derivar esta expresión

Answer 1

El resultado de la derivada de la expresión es:

$-\frac{a}{\sqrt{a-x}(a+x)^{3/2} }$

Reescribimos y;

y = $\frac{\sqrt{a-x} }{\sqrt{a+x} }$

y= $\frac{d}{dy} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$

Derivamos;

$\frac{d}{dy} = \frac{d}{dy} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$

Aplicamos un cambio de variable;

f = √u  ⇒ u = $\frac{a-x}{a+x}$

sustituyo;

$\frac{d}{dy} = \frac{d}{du}( \sqrt{u})$

$\frac{d}{dy}( \frac{a-x}{a+x})$

Aplicamos regla de la cadena, df(u)/dx = df/u . du/dx

$\frac{d}{du}( \sqrt{u})$ = $\frac{1}{2\sqrt{u} }$

$\frac{d}{dx}( \frac{a-x}{a+x})$

Aplicamos la regla del cociente, (f/g)' = (f'.g - f.g')/g²

= $\frac{\frac{d}{dx} (a-x)(a+x)- \frac{d}{dx}(a+x)(a-x) }{(a+x)^{2} }$

= $\frac{d}{dx}( a-x)$ = -1

= $\frac{d}{dx}( a+x)$ = 1

= $\frac{(-1)(a+x)- (1)(a-x) }{(a+x)^{2} }$

simplificar;

= $\frac{-(x+a)-(-x+a) }{(a+x)^{2} }$

=$\frac{-2a}{(a+x)^{2} }$

= $\frac{1}{2\sqrt{u} }(]\frac{-2a}{(a+x)^{2} })$

Devuelvo el cambio de variable:

= $\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a-x}{a+x} } }(]\frac{-2a}{(a+x)^{2} })$

Simplificar;

= $-\frac{1}{\frac{\sqrt{a-x} }{\sqrt{a+x} } } }(]\frac{a}{(a+x)^{2} })$

= $-\frac{1}{ \frac{\sqrt{a-x} }{\sqrt{a+x} } }(]\frac{a}{(a+x)^{2} })$

Multiplicar:

$\frac{\sqrt{a-x} }{\sqrt{a+x} }(a+x)^{2}$

$\sqrt{a-x} (a+x)^{3/2}$

= $-\frac{a}{\sqrt{a-x}(a+x)^{3/2} }$